这次临时做个活动预告。订阅大老李微信订阅号的听众都知道大老李会在微信中每星期推送一道趣味题目，供大家消遣。但是下一期节目，您不但能答题，还能赢得一本书作为奖品！ 因为最近恰逢汪诘和吴京平两位老师各自的科普新书《亿万年的孤独》和《无中生有的世界》上市，两位赠给大老李各一本他们的新书，大老李想到正好可以搞个答题奖书活动。 活动规则如下：北京时间本周日，9月23日上午9点，大老李会在微信订阅号中推送新一期的“每周一题”，您看到之后可以马上开始答题。答案请直接在原订阅号下方留言。到下周日，我会公布不该活动的答案，并取答对题目的前两名听众各自获得汪诘和吴京平老师的新书中的一本。 再强调一次，请务必在文章下方留言，而不要直接发送消息。因为答案公布后，我会把得奖听众的留言作为精选留言公布出来，大家也可以比对一下自己回答的时间先后，确保公平。 好了，活动介绍到这里，如果你还没有订阅大老李的订阅号，请马上在微信中搜索”dalaoli_shuxue”订阅，不要错过机会。

这26个群虽然很奇怪，但是数学家根据它们之间或强或弱的联系，还是分成了四类。最早发现的一类叫“马蒂厄群”，它们是1860，70年代法国数学家马蒂厄发现的，甚至比李群的发现还早些。要理解马蒂厄群，我们还是可以先做一道智力题：请你在纸上随便画7个点，然后给这些点连线。连线要求是，每条线恰好经过三个点，不一定是直线，任意的曲线都行。而且连好之后，任意两个点属于且仅属于一条线，就是不能有任何两个点之间没有连线或者有多余1条的连线。你可以暂停试试看这道智力题。 三维中的kissing number problem: 上图： 120元胞体，一个四维的晶格 微信订阅：dalaoli_shuxue

大家好，我是大老李。在连续两期有关群的话题之后，顺理成章的想跟大家聊聊群论中非常重要和有意思，也是整个数学中最为宏大的一个定理：有限单群分类定理。 说它宏大，一个是时间上，从问题提出到解决大约经历了一个半多世纪时间，当中曾经在1983年有人宣布它被证明了，但后来发现其中还有些遗漏的地方，全部漏洞被完整填补又花了25年，到2008年左右人们才普遍认为它真的是被证明了。 另外一方面说它宏大是在空间上，因为这个定理的证明包含了100多位数学家的500多篇论文，总页数多达15000页。这个数量已经多到任何一个人穷尽一生都难以阅读完的地步。后来有数学家决定用当今最新数学工具和语言重新写一遍它的证明，但最终产生的证明还是多达5000多页。所以从证明长度来讲，我们排除那些用计算机辅助的证明的那些命题，只考虑真正写出来供人阅读的证明，那这个定理的证明总长度绝对是最长的。 2次，3次，4次交错群的图表示：

大家知道，中国古人使用天干地支纪年法，比如今年2018年是戊戌年，去年是丁酉年，而明年是己亥年。推算也很简单，就是十个天干：甲乙丙丁午己庚辛壬癸和十二地支：子丑寅卯，辰巳午未，申酉戌亥，两两组合成一对，就是这一年的年号。 ... 比如要计算“甲子”+“戊戌”，我只要找到历史上任何一个甲子年和戊戌年的公历年份相加就可以了。比如我查到公元124年，汉安帝延光三年是一个甲子年，而1058年北宋嘉佑三年是戊戌年，所以我就计算124+1058=1182。我又查了下1182年，是南宋淳熙九年，是壬寅年，所以“甲子“+”戊戌”=“壬寅”。类似，比如还有“甲子”+“乙丑”=“己巳”，“丁丑”+“辛卯”=”戊申”等等。而且你会发现这个运算法则的神奇之处在于它并不依赖具体取哪一个公历年去对应这个干支年，不管你怎么选，计算结果是一样的。我前面特地选数字比较小的，因为比较好算。当然你也可以一次性列出这个60个称谓两两互相相加的3600中组合结果作为这种加法的定义。 .... 五行相生相克图： 订阅微信获取讲稿：dalaoli_shuxue

大家好，我是大老李。之前有听众想让我聊聊数学里的“群”概念，讲讲群论。我们平时经常可以看到一些数学文章里会提到各种各样的“群”，比如“李群”，“对称群”，“单群”等等。这些术语听上去是有点高大上，但其实“群”这个概念本身却十分简单。所以本期节目就想帮助不了解“群”概念的听众，快速理解下什么是“群”。 一个示例的家谱： 根据本期节目定义的“加法”，我们有： 外甥+外甥女=“大姐+姐夫” 外甥+侄儿=“爸爸+妈妈” 群(G,·)是由集合G和二元運算"·"构成的，符合以下四个性质（称“群公理”）的数学结构。其中，二元运算结合任何兩個元素a和b而形成另一個元素，记為a·b，符號"·"是具體的運算，比如整數加法。 群公理所述的四个性质为: 1. 封閉性： 對于所有G中a, b，運算a·b的結果也在G中。b[›] 2. 結合律： 對于所有G中的a, b和c，等式 (a·b)·c = a· (b·c)成立。 3. 單位元： 存在G中的一個元素e，使得對于所有G中的元素a，总有等式 e·a = a·e = a 成立。 4. 逆元： 對于每個G中的a，存在G中的一個元素b使得总有a·b = b·a = e，此处e为單位元。 阅读节目文稿请微信订阅: dalaoli_shuxue

欧拉公式： 欧拉公式推导： e^x在复平面的图像，分实部和虚部： 阅读节目文稿请微信订阅: dalaoli_shuxue

要说163的这个特别性质，我们要从质因数分解说起。我们小学时候就知道质因数分解这件事，而且有一个定理叫：唯一因子分解定理。意思就是任何一个整数的质因数分解方式是唯一的，不可能有两种方法。这个定理是如此重要，以至于它有另一个名称叫“算术基本定理”。 但你有没有想过，在引入虚数之后，这个质因数分解有了些新的变化。比如我们算一下(1+i)(1-i)=1-(-1)=2，这样好像2就有了一种因数分解方法了。当然如果你看到这个结果就当一个奇淫巧技，一带而过了，那什么也不会发生。但大数学家高斯不这样么想，他在1801年出版一本数论巨著叫《“算术研究”》中提出了两个与这个因数分解问题相关的猜想。 请关注订阅号：dalaoli_shuxue

塑料常数的定义很简单，它就是方程x^3=x+1的唯一实数根，约等于1.3247或4/3，它的根式表达形式： （上图：20个不同的正方形，当边长差距达到4/3时，你会把它们分为两类） （上图：左边为黄金分割的构造，右边为“塑料常数”的构造。取一条线和两个分点，构造6条不同长度的线段，使得相邻长度两条线段比相等。比值即为“塑料常数”） （上图左:按黄金分割比切割的正方形。上图右：长宽高按‘塑料常数’构造的立方体，你能看出'清晰感'吗？） （上图：我随手找的“内六角扳手尺寸表”，这里面有“塑料常数”吗？） 微信搜索：dalaoli_shuxue，订阅“大老李聊数学”公众号

你可能听说过计算机里的随机数生成算法叫“伪随机数生成算法”，又叫“决定式随机位生成器”（deterministic random bit generator (DRBG)），意思就是它能随机生成1个二级制位，0或者1，而且是50%概率。为什么这种算法都是二进位的生成器？因为平时我们使用均匀分布随机数的场合是最多的，有了均匀分布的随机数，转换成其他分布也是比较简单的。而计算机内部又都是二进位，我有了产生0和1的二进位生成器，如果一个计算机内部浮点数是小数点后有32位，那我就可以产生32位随机二进位，作为0之后的32位小数位，这样我可以产生0-1之间的均匀分布的浮点数，供用户使用。 那为什么又叫“伪随机数生成算法”？为什么加一个“伪”字？很自然就是因为它达不到上一期讲过的“真随机数“的要求，目前计算机架构下也永远不可能有”真“随机数生成算法。但好在实际运用中我们不需要那么高的要求，在实际使用中，我们只要保证根据相当长历史随机数，你无法用当代主流的计算能力，在相当长的时间内，对我之后随机数的猜测的成功或失败概率，与½之间，无法产生任何“显著”的区别，或者用一个术语，就是差别是“可忽略的”（neglectable），就是你猜我随机数的成功失败概率与瞎猜之间的区别是可忽略的，那我就是很放心的。 线性同余法Python代码片段(作者: John D. Cook)： for _ in range(N): z = a*z % m # LCG bit_string += format(z, formatstr) 岩浆灯： 公众号订阅，微信搜索：dalaoli_shuxue

如果我想让你生成一串0和1的数字序列，而且符合所谓0-1二项分布，0和1的概率各50%，你会怎么做？当然，这很简单，你可以拿一枚硬币不停的丢，看到正面写个0，背面写个1。当然，也会有想偷懒的朋友会说，我就直接瞎写就可以了，只要我0和1写的总数差不多就可以了。现在问题，如果我给你两个0-1的序列，其中一个是某人用丢硬币的方法产生的，另一个是某人“随便”手写产生的，请问你有办法鉴别出来这两个序列哪个是丢硬币产生的，哪个是“手写”产生的？ 但数学里，特别是密码学里，还是给“真”随机数给出了一个定义，比如”真正”的符合1/2对1/2概率的0-1二项分布的随机变量定义就是这样：设想一个游戏，我是给出0-1分布随机数的，你是猜随机数的。我每次会产生一个0或1的随机数，你要去猜。你有几个便利条件，我允许你在猜之前向我要任意多的数量的随机数。也就是说，你可以研究过往随机数的历史，如果你认为这对下一次猜测有用的话。而且你想要多少我就给你多少，这是一个便利条件。另一个便利条件是你有一个无限计算能力的计算机，要多块就多块，也就是你可以尽情的在猜之前利用这台机器机去分析，甚至于我可以先产生一个新的随机数，但不给你去看，你还是尽可以去算。等你觉得算够的时候，你就可以猜0或是1。而所谓“真”随机数就是，这个游戏经过非常多次之后，你能猜对的概率仍然是½，那么我产生的随机数就是所谓“真”0-1二项均匀分布。 微信公众号订阅：搜索"dalaoli_shuxue"。

卡农并不是特定的某个曲子，而是一种作曲的格式，就像唐诗有绝句，有律诗一样，卡农是一种格式。其基本结构而言就是两段相似甚至完全一样的旋律，在时间上有一点错位，产生一种纠缠回旋感觉的旋律。 巴赫莫比乌斯带卡农，原五线谱有“滑移反射”效果： 做成“莫比乌斯带”： 巴赫“永不终止的卡农”的音高走向图，六轮叠加，每一轮升高一个全音： 订阅“大老李聊数学”公众号：dalaoli_shuxue

大家好，我是大老李。今天节目主题叫“埃尔德什偏差问题”(Erdos Discrenpency Problem)，让我们还是从一个有意思的故事去理解这个命题。 临近毕业季，你的学校有一个奇怪的毕业仪式，你只有完成这个仪式或者说是一个极具挑战性的任务，你才算正式毕业了。这个挑战是这样的：你站在学校操场上的某个位置，你的任务就是绕操场走完一圈。但是有个规则是，你的某个同学会给你准备一大堆排序好的指令卡，每张卡上写着+1和-1这样的数字，意思就是顺时针或者逆时针前进一步。这些指令到底怎么排列完全是这个同学指定的。而你必须按照这个同学给你准备的指令向前或者倒着走。但不管是顺时针还是逆时针，只要走完操场一圈你就是完成挑战。你可能会说如果这个同学坑我，他给我的指令就是+1，-1，+1，-1，这样交替进行的指令，我不是永远走不完了吗？ ... （上图：10岁的陶哲轩与72岁的埃尔德什, 1985年） 订阅“大老李聊数学”公众号