“为什么说实数是连续的，能够布满一条数轴？” 相对应的，为什么有理数就不行，也就是有理数是不连续的，有很多断点的？ ..... 前面戴德金拉拉杂杂说了那么多，现在重点来了，他其实就是想说，既然分割点不一定是有理数，那我就定义一种数叫“实数”，每个实数就对应以上的一种对“有理数”的切割，也就是一对左集和右集，唯一对应一个叫实数的数。这个定义重要的一点是，它是根据有理数定义出来的，而没有用到更多前提；第二点，根据切割的定义，我们可以知道切割出来的实数天然具有有序和稠密性，而且它的定义就证明它与直线上的点是对应的，因为实数就是对直线任意位置切割产生的，所以它就是与数轴对应的！而这种“连续”，也被称为“戴德金完备”性，也就是说完整了。 戴德金切割图示： 订阅“大老李聊数学”公众号

大家好，我是大老李。今天聊个最近的一条数学新闻，是关于一个业余数学爱好者的一个新的数学发现，这个发现是关于一个叫“哈德维格-纳尔逊问题”的。这个问题1945年先由瑞士数学家哈德维格发表，1950年普林斯顿大学数学系教授纳尔逊将其正规化，因此后来将此问题命名为：哈德维格-纳尔逊问题。这个名字有点长，所以之后节目里我就把它简称为“哈纳问题”。这个哈纳问题被马丁加德纳于1960年在《科学美国人》杂志上发表，名声一时大噪。 它到底是怎样的呢? 它又是一个着色问题：请你给一个平面上所有点着色，着色目标是是使得所有距离为1的两个点能着上不同的颜色，问最少需要几中颜色？这个问题是不是粗听有点像四色定理，但是一个重要的不同是，它涉及到距离为1，这个确切的长度要求，这也意味着它不是像四色定理那样可以对形状任意扭曲变形的拓扑问题。 Polymath项目地址：http://t.cn/R3803sw 将平面用对角线距离略小于1的正六边形密铺，可以证明"哈德维格-纳尔逊问题"的上限是7： 莫泽纺锤(Moser Spindle)： 格雷医生发现的无法用四色着色的单位距离图(unit-distance graph)，有1581个点: 关注“大老李聊数学”公众号：

大家好，我是大老李。今天聊个简单的话题，就是有关我不久前在节目里出过的两道概率题。你还没听过的话可以暂停先翻过去两集，听一下原题思考一下。这期节目我就跟大家聊聊这两道题，不是单纯说个答案，而是讲讲这两道题的有意思的地方和我的一些感想。 第一道题是这样的：你有一个邻居，他有两个小孩。至少有一个是男孩，问两个都是男孩的概率？你的第一个感觉是1/2对不对？但正确答案是⅓。 理由是两个小孩的组合有四种：男男，男女，女男，女女。现在知道至少一个男孩，那可以排除”女女”。剩下三种情况中只有一种是”男男”。所以概率是⅓。具体分析我们稍后再说，直接看第二题，第二题更诡异。 第二题几乎与第一题一样： 你有一个邻居，他有两个小孩。至少有一个是男孩，且出生在星期二，问两个都是男孩的概率？你第一感觉肯定是，这“出生在星期二”关小孩性别啥事？这肯定是混淆条件，这题就应该跟前面一题一样，答案是⅓，但”正确”答案是13/27，也就是比1/2略小一点，但这个答案是个什么鬼？这个问题最有说服力的一种解法就是把两个小孩性别和出生在周几的组合全部列一遍，比如一个小孩可能是男或女，可能出生在周一到周日，一种有14种可能。两个小孩有14*14=196种可能。然后我把196种可能中，选出至少一个男孩出生在周二的情况，一共27种，然后里面两个都是男孩的情况确实是13种，所以答案是13/27。这种方法虽然笨，但无疑是最清晰明了，无可辩驳的。 我还看到有一位叫Gyfoscope的听友给我留了一段很专业的评论，也是从量子物理角度理解这问题，我是完全不懂，所以我只能全文念一下供大家后续研究。他是这样说的：“这个问题看似简单但其实还挺深刻的。是否能够有信息区分两个孩子竟引起答案如此大不同，这很像物理中的玻尔兹曼统计和玻色爱因斯坦统计之间的区别。在后者中，全同粒子之间完全不可分辨而又不遵守泡利不相容原理。这个“不可分辨”会引起粒子系统热学性质出现用经典物理无法解释的奇怪现象。比如大名鼎鼎的普朗克定律就是玻色爱因斯坦统计用于光子的一个特例。” 以上就是这位听友的精彩评论！

大家好，我是大老李。今天节目主题是“帕里斯-哈林顿”定理(Paris-Harrington)，这个定理是有关不可证明的命题的。说到不可证明的命题，大家第一感觉一定是连续统假设。那这个帕里斯哈-林顿定理为啥也重要呢？我们先要搞清楚什么是不可证明性。 第一季节目里我有一期节目是哥德尔不完备性原理。我们简单复习一下。哥德尔的第一不完备原理是说对任何包含皮亚诺算术且可以公理化的理论，这个理论是不完全的。不完全的意思就是这个系统内存在既不能证明也不能证伪的命题。连续统假设就是这样一个命题。 但这里面提到皮亚诺算术，这是什么东西呢？不久前的一期节目我们聊到过策梅洛-弗兰克尔的公理化集合论，简称ZFC系统。那套集合论其实是定义了一套有关集合的公理，使用这套公理，你可以知道哪些逻辑推理方法是可以用的。但是只有逻辑推理，没有推理的源头，还是推不出数学。 加强的有穷拉姆齐定理：

请你思考一下以下两道概率题： 1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩，问两个孩子都是男孩的概率是多少？ 2. 1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩且出生在星期二，问两个孩子都是男孩的概率是多少？ 请你自己思索下再搜答案。我会在不久之后的节目中跟大家探讨下这两道题。

大家好，我是大老李，今天的节目话题其实是来自“科学有故事”的主播汪诘老师。他最近在着手写一本有关数学的科普读物，他希望我解答一些他在写作中的遇到的难点问题，而我正好也在帮他解答的同时，也把这个解答作为节目介绍给大家。 这次他提出的一个问题就是“第二次数学危机”是如何解决的？先解释下什么是第二次数学危机，其实三次数学危机并没有太官方的说法，只是大家都这么说。这第一次就是有关无理数的出现，第二次是微积分的基础危机，具体说就是关于无穷小的，第三次是罗素悖论引发的。这三次危机多少都是与“无穷”这个概念有关的，今天我们着重看看第二次，第二次危机的重点就是关于“无穷小”这个概念 订阅“大老李聊数学公众号”

大家好，我是大老李，今天的话题来自去年年底有人的发表一篇论文，论文的标题就叫“蚱蜢问题”，The Grasshopper Problem. 这个论文提出了一个有趣的问题，说假设让你设计一个草坪的形状，草坪的总面积规定好了，比如是s，你有一个设计目标，就是假设有一个蚱蜢停留在你的草坪上一个随机位置，然后蚱蜢开始起跳，蚱蜢跳跃方向是随机的，但跳跃的距离是一个固定值，比如说d。然后你要设计你的草坪形状，使蚱蜢跳跃后停留在你的草坪上的概率最大。也就是你可以想象拿一只蚱蜢反复地随机放在你的草坪上某个位置，然后让它随便跳一次，距离是固定的。然后统计蚱蜢跳跃后仍然停留在你的草坪上的概率。你的目标就是在草坪总面积固定的情况下，让这个蚱蜢停留在你的草坪上的概率最大。另外要说明的是，你的草坪的形状并不需要是连续的，可以是分成几块的。 蚱蜢跳跃距离0-1时，草坪最佳形状的四种类型： 蚱蜢跳跃距离0.27时，计算机模拟草坪形状的变化过程中间图(经测试，目前不支持GIF动图:( 订阅大老李聊数学公众号：

要讲选择公理，就不得不先讲一下所谓数学的第三次危机，也就是由著名的罗素悖论引发的一场危机。简单回溯一下历史，那是在19世纪后半页，数学家们开始逐渐意识到数学的理论基础是不完善的，需要重新构建数学的基础，就像欧几里得几何一样。欧式几何，通过5条简短的公理就能推导出一整套数量庞大且堪称完美的几何定理和结论。所以数学家希望对代数学也建立这样一套公理系统，更重要的是逻辑推理的规则系统。而恰好康托对无穷集合有了很多研究，数学家发现用集合概念来建立数学基础也许是合适，因为集合的概念确实足够简单和平凡，而且看上去所有数学研究对象都可以用集合来描述出来，所以人们就希望用集合论来建立一套基础。 ...... 在研究连续统假设过程中，康托他发现他很需要一个称为“良序原理”的东西。优良的良，秩序的序，意思就是良好的秩序。康托发现，如果一个集合天然有一个“最小”元素，无论以何种方式定义大或小，只要能找到这个最小元素，那这个集合就可以被称为良序的。康托希望所有非空集合都是良序的，但是显然你没法把它作为公理，因为这个命题距离”显而易见”，”不证自明”，是有明显距离的。 策梅洛就开始设法帮助康托来证明良序原理，而他的方法就是提出了一条新的公理，这条公理可以推出良序原理，它被称为选择公理。选择公理有很多等价的表述形式，其中一种比较简单的表述，大致意思是，对任意数量的非空集合，总能从每个集合中选出一个元素来构新的集合。因为这里面涉及到从一个非空集合里选择一个元素的动作，所以这条公理被称为选择公理。这条公理看上去是不是天经地义的？如果是非空集合，里面至少有一个元素，那我自然可以选择出一个元素出来。而问题在于选择的方法。选择公理里并不要求选择的方法，而是默认可以选择，这时，如果涉及到无穷集合就会出现让人起疑的地方了。 订阅大老李聊数学公众号：

大家好，我是大老李，今天是“大老李聊数学”第一季的最后一集。我要休息一下也充电一下，预计在三月左右，以更好的状态给大家呈现更好的第二季。在这一年多的时间里，我制作了三十多集节目，订阅数突破了五千，也算小有成果。在此感谢所有支持过我，关注我的听众。您的每一次点赞，打赏，评论，都是对我的莫大鼓励。 今天借这期节目，准备回答某个听众问我的问题，就是学数学有什么用？特别的是他还提出了两个具体的问题，就是研究费马定理有什么用，黎曼假设有什么用？虽然如果你让我用最简单的回答的话，我觉得以上所有问题回答“好玩”两个字就够了。但是学数学意义远不止好玩二字，它当然还是有用的。 (“每周一题”将在公众号中更新，请扫描以下二维码关注) 关注“大老李聊数学”公众号

大家好，我是大老李，今天的节目还是接上期的话题，上期结束我提出了一个有关基因的问题，我们来回顾下： 假设我们知道单双眼皮是一对等位基因控制的，且双眼皮是显性基因，用字母A来表示。如果现在人群中两个大A的双眼皮的人比例是50%，一个大A一个小a，表现为双眼皮的人是20%的比例，剩下30%是单眼皮。问他们的子代里，各类基因组合比例如何？他们的孙代又会如何？ 基因计算“九宫格”： 哈代的信件： "我怀着忐忑的心情给与您唐突的讨论一个我并不擅长的领域里的问题。这是一个我认为非常简单的结论，而且看上去应该是生物学同行们熟悉的。但是普内特先生给我看了安迪尤尔先生的一些评论后，让我有了主意，使我觉得我发表一下我的发现还是值得的... 假设大A和小a是一对孟德尔等位基因，大A是显性，小a是隐形，且AA:Aa:aa=p:2q:r。假设生物群体足够大，且遵循完全随机的配对原则，也就是交配是完全随机且繁育能力均等的前提下，一些简单的数学乘法表可以告诉我们下一代的基因比例是(p+q)^2:2(p+q)(q+r):(q+r)^2, 或者记为 p1:2q1:r1。 现在的问题是何种条件下，下一代的比例与上一代相同？很容易看出此时需要q^2=pr。而因为显然q1^2=p1*r1。因此无论初始p,r为何值，该比例在第二代就不再改变。“ 坐标示意图，横轴代表两个等位基因的频率，纵轴代表三种基因最终稳定的频率： 每周一题：“太阳帽” vs “北极帽”（附上期答案） 本周题目：“太阳帽” vs “北极帽” [BN-WS216_MATH_P_20171221104253] 假想你有一把巨大的圆规，圆规目前设定半径为1000公里(就是圆规的“针”到“笔尖”的距离)。你用这把圆规在太阳上画了一个圆。然后在不改变半径的情况下，以北极为圆心，也画了一个圆。 当我们把太阳和地球当成标准球体时，请问这两个圆所包围的表面积（较小的部分，参看配图）哪个大？如果把画出的圆看作“帽子”的周长的话，就是在问“太阳帽”和“北极帽”哪个盖住的面积大？给出你的理由。 上期答案： 上周题目是： 张三给家人采购了若干圣诞礼物。他买完之后看了下账单，发现一个有趣的现象：所有的礼物的价格都是完全平方数（某自然数的平方），且将所有礼物的价格写下来之后，数字1到9恰好各出现1次。 请问，张三的账单总额最小可能是多少？他买了几件礼物？ 答案是855元，买了5件礼物： 1+9+25+36+784=855。答对的朋友很多（如有遗漏请见谅）：1106711411, 钱维vivi, 高兴就好，侯方东，黄亮，φ, Love Larisa, 王森。此题主要着眼点就是先选定一个含有7的完全平方数，再慢慢凑。唯一容易混淆的是，有很多朋友找到了这组解：9+81+324+576=990，算是一个小陷阱。 祝元旦愉快！ 收听“大老李聊数学”音频 关注“大老李聊数学”

大家好，我是大老李。这期继续讲有关博弈论的话题。上期结尾留下了一个思考题，我把题目简单再回顾下： 问题是这样，有个母亲，她有一对双胞胎儿子。儿子很调皮，她为了管理好她的儿子，想出了这么一个政策，她每天会准备20块钱，傍晚单独问她两个儿子，问他们有关另一个小孩在学校的表现。如果两人都说另一个表现的很好，那么他们会各得10块钱。如果其中一个报告了另一个的不好表现，则报告的可以得到15块钱，不报告的一分没有。如果两人都报告了对方的不好表现，那两人都只能得到5块钱。接下来有四个问题，让我们来一一解读。 本周题目：特殊价格的礼物 [gifts] 张三给家人采购了若干圣诞礼物。他买完之后看了下账单，发现一个有趣的现象：所有的礼物的价格都是完全平方数（某自然数的平方），且将所有礼物的价格写下来之后，数字1到9恰好各出现1次。 请问，张三的账单总额最小可能是多少？他买了几件礼物？ 上期答案： 上周题目是： 你在玩一个非常规的飞镖游戏，飞镖版是一个半径1英尺的靶子。你的飞镖本领不够好，你的飞镖只能随机且均匀的落在靶子上的任何位置（即落点均匀分布在靶子上），但不会脱靶。 飞镖游戏的规则是这样的，你连续投掷飞镖，直到你的第n个飞镖落点与之前的飞镖落点距离小于1英尺。这样你就出局了，你的得分是n-1。问题是（从易到难）： 可能的最高得分是多少？ 得分超过1分的概率是多少？（也就是第二个飞镖距离第一个飞镖大于1英尺的概率） 你的得分期望值是多少？ 第一个问题的答案是7分，形状就是下面这样： [maxscore.png] 第二个问题，超过1分的概率大约是0.41，精确来讲是[\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}]。计算方法如下： 首先考虑如下的图： [above1] 蓝色的圆表示靶子，绿色的点表示你的第一个飞镖的落点。绿色的圆就表示“坏”的第二镖的落点范围。如果第二镖落在绿色圆内，则表示你的飞镖离第一镖距离小于1英尺，或者完全脱靶（虽然你的技术好到不会让你脱靶）。 因此，你要获得1分以上的得分，你要计算你的第二镖能避开“坏”的落点的概率，且这个概率值与第一镖的落点位置相关。设你第一镖位置与靶心距离是x，则上图中两圆的重合部分的面积，称为A，有： [A=2\cos^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)-x\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}] 我们记得我们第一镖落在靶面位置上的概率是均匀的，则我们需要将x从0（第一镖命中靶心）到1（第一镖落在靶面边缘）进行积分。则最终的概率是： [1-\frac{1}{\pi}\int_0^1 (2x)(A)dx=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}] 该数值大约为41%。 对第三题，使用积分运算也有点过于复杂了。有人使用python代码进行模拟(http://t.cn/RHz66tb)，模拟了10万次掷飞镖的情况，得到了平均得分约为1.47。 另外我们知道我们恰好得1分的概率是1-41%=59%。计算显示恰好2分的概率大约是35%，恰好3分大约是6%，恰好4分大约0.1%，得5到7分的概率几乎可以忽略不计。有人制作了了如下柱状图，可以很直观了解： [freqplot.png] 恭喜Stones答对了，Magician大部分思路正确！祝圣诞快乐，下周再见！ 收听“大老李聊数学”音频 关注“大老李聊数学”

有这么一个猜拳游戏，猜拳的双方姑且叫他们“小单”和“小双”，单数和双数的单双。猜拳时只能出两种手势，就是出一个大拇指，表示一，或者出四个手指，表示四。然后把双发的手势数字加起来，单数时小单赢，双数时，小双赢。而且赢得分数就是双方手势数字之和。比如一个人出了1，另一个出了4，那么加起来是5，那小单赢了5分。如果两个人都出了1，那么加起来是2，是双数，那么小双赢了2分。现在的问题就是这个游戏是公平的游戏吗？ 该游戏的纳什均衡点在小单以13/20的概率出1，7/20的概率出4，如此的话，小单平均每局可赢0.45分。计算过程如下： 设小单出1的概率是p，小双出1的概率是q。则小单每局的得分期望值是： –2pq+5(1 –p)q+5p(1 –q)–8(1–p)(1–q)=13p+13q–20pq–8 现在的目标是无论q是多少，确定一个最佳的p值，则可将q作为变量，p作为常量，将上式化为： q(13–20p)–(8–13p) 则可注意到当13-20p=0时，上式将不依赖于q。则可解得p=13/20时，上式值为0.45。即为纳什均衡点时，小单的单局得分期望值。