关于无限集，可能好多听众也了解过一些，比如你可能听过这个比喻，就是如果一个旅馆有无穷多个房间，而且住满了，那么又来了一个旅客，怎么让他入住呢。如果是有限个房间的旅馆，那当然是没办法了，但是有无穷多个房间的旅馆的话，没有问题，老板胸有成竹，他一声令下，请所有住客注意，如果你现在是第n号房间，请你搬到第n+1号房间。然后新来的旅客就顺利入住了第1号房间。然后忽然又来了无穷多个旅客了，怎么办呢。老板还是不慌不忙，发了一道新指令，请所有第n号房间的住客搬到第2n号房间，然后瞬间就发现所有奇数号房间都腾出来了，新来的无穷多个旅客就顺利入住了。 无限集世界很奇妙，连续统假设更烧脑。 p与t的定义：

(此前一次录音质量太差，故重录，因此称为“修复版”) 本节目开通了微信公众号，欢迎订阅： 请你在一张纸上随便画5个点，里面不要有三点共线的情况，其他都随便画，然后请你尝试在这5个点里随便找4个点连接起来，唯一要求是构成一个凸四边形。然后你很快会发现，是不是随便画5个点，都能找出这样的四个点来构成凸四边形。但是很显然，只有四个点的话，不一定能构成凸四边形。那我现在问你，你能否证明构成凸四边形是否至少就需要5个点呢？如果要构成凸五边形，那至少需要多少个点呢？如要凸11边型又如何呢？这个一般的，平面上至少需要多少个点来构成凸n边型的问题，就是所谓幸福结局问题。 1933年，厄多斯和塞凯赖什证明了g(n)的上下界： 2016年，有人证明： 凸5边型的情况和一个反例：

黎曼假设顾名思义是德国数学家黎曼, 在1859年提出的。这个命题是关于一个所谓黎曼zeta函数的零点的位置问题。 zeta函数的级数形式： zeta函数积分形式： Universality分布与随机（均匀）分布和周期性分布的比较： 1999年，两位物理学家Michael Berry和Jonathan Keating在早期的希尔伯特-波利亚猜想的基础上，提出这样一个猜想：会存在一个这样一个量子系统（所谓量子系统简单来说就是含有位置和动量参数的一个系统，并且与海森堡不确定原理相关的这样一个量子系统），而且这个量子系统里的能级都完美对应黎曼Zeta函数的非平凡0点。也就是如果第n个能级记作En，那么½+i*En就要等于0。如果能构建出这一量子系统，则等于证明了黎曼假设。

一个小球，或者说所谓质点，从一个A点的位置开始，在只考虑重力作用下，沿怎样的一条路径下滑，可以以最短时间滑到比较低的一个B点位置？ 这就是所谓最速降线问题。 最速降线问题直接导致一次历史上最为牛人云集的数学竞赛，参赛者有牛顿，莱布尼茨，伯努利兄弟等人。 “河中取物”问题示意图 （请将“空气”视作陆地，“水”视作河流即可）： 由半径为2的圆所生成的摆线示意图：

（节目图片分别为菲尔兹奖奖章，沃尔夫奖和阿贝尔奖的LOGO） 前几天知乎上有人问了这么一个问题，为什么诺贝尔奖新闻媒体那么关心，数学界的大奖却几乎不见新闻报道呢？虽然诺贝尔奖里面没有数学奖，但是数学界也有些重大奖项啊，其中最重要的三个大家公认就是菲尔兹，沃尔夫和阿贝尔奖，但几乎都新闻报道啊，为啥呢？ 我觉得知乎上有一个人回答的好，因为诺贝尔奖通俗易懂嘛，你水平再不济，你也能关心下诺贝尔文学奖吧？比如村上村树要陪跑多久？最近中国作家莫言也得奖了，这也是个谈资啊。就算是科学奖，诺贝尔化学，医学，经济学奖新闻里稍微解释一下也能搞的听众似懂非懂的。就算物理是这里面最难的，但很多物理概念是新闻媒体喜欢炒作的，比如相对论，黑洞，量子计算机之类的东西，比如去年引力波被证实就炒作了好一阵。 我来给大家炒作写数学界的三大奖。

请你在纸上任意画一条封闭曲线，形状不论，只要是是封闭，凹凸也不论。不可有自相交。然后请你设法在曲线里画一个内接正方形，也就是正方形四个顶点都在曲线上。你可能稍微实验几下，就能画出。需说明允许这个正方形超出这个闭曲线之外，否则有反例。 1911年德国犹太裔数学家Otto Toeplitz提出。 正式描述： Let C be a Jordan curve. A polygon P is inscribed in C if all vertices of P belong to C. The inscribed square problem asks: Does every Jordan curve admit an inscribed square? 以下是科赫雪花曲线的前四步构造过程，它被证明符合内接正方形猜想：

话说在1719，一个叫Paul Halcke的会计，也为专天文学家计算的工程师发现了三个数字，44,117, 240。如果你把这三个数任取两个，求平方和，结果仍旧是一个完全平方数。如果你把这三个数作为一个长方体的三条边，你会发现这个长方体不但所有边是整数，所有面的对角线也是整数。符合这种条件的长方体称为欧拉砖。 完美立方体是啥呢：找一个欧拉砖，使体对角线也是整数！ 数学家至今没有找到这样的三元组，也不能证明它不存在。 Saunderson的参数化欧拉砖数公式：如果u, v, w是勾股数（比如，（3，4，5），则以下公式可以产生欧拉砖数组： 2009年，发现了完美平行六面体，三条边最小的长度是271, 106, and 103。6条面对角线和4条体对角线全是整数。还找到了两个面是矩形的完美平行六面体。

如果你对考拉兹猜想感到陌生，我说说它的其他名字，我觉得你是不是能想起来：奇偶归一猜想、3n＋1猜想、冰雹猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想。如果你还没有想起来，我就在复述一下这个猜想的内容，看看你是不是能反应过来。这个猜想是这样说的，任取一个自然数，如果它是奇数，那么就把它乘以三再加一，如果是偶数，就把它除以二。把得到的结果在重复以上过程。这个猜想就是说，无论你取什么样的自然数，重复以上过程后，你最后会进入一个4,2,1的循环。这就是这个猜想为什么也叫奇偶归一猜想或者3n+1猜想的原因。 考拉兹猜想“树”： 弱考拉兹猜想的等价命题： 数学中有些特例会很吓人。1999年，终于有人发现30可以表示为如下三个数的立方和，这是最“小”解：

在一个宽度为1的走廊里，这个走廊有一个向右的直角转弯，但是转弯过后，这个走廊宽度保持不变还是一，问在这样一个走廊里，搬一个沙发要能通过这个转弯，这个沙发最大可以多大？这个问题在1966年就被提出了，至今没有解决。 Hammersley构造出如下沙发的样子，两边是半径为1的半圆，中间是宽为1，长为4/π的矩形，切去一个半径为2/π的半圆，面积约为2.2074： Gerver对上述沙发做了改进，整个沙发由18段曲线构成，面积约为2.2195： 能通过左右直角弯的“双心形沙发”（ambidextrous sofa）： 双心形沙发面积公式： 上期智力趣题答案： 35^2+2^2+2^2+1^2=1234

说起勾股定理，我认为是中学数学中定理证明最优美的一个。其实你现在回想一下整个中学教的数学，虽然内容很多，但是真正教授过的，能称之为“定理”的命题其实聊聊无几，大多数只能叫公式。几何里叫定理的虽然多了一下，什么三角形全等有很多判定定理，性质定理也有一堆，但是这些定理大多数都太简单或者太直观，所以证明过程远不谈不上优美，而且以人名命名的定理也只有这一个，不信你自己好好回想一下中学数学，是不是只有这个以人名命名的叫毕达哥拉斯定理的定理，这足以说明这个定理的重要。 从勾股定理聊到它的无数种扩展形式.... 上期趣题的答案： 本期趣题：请将1234表示成四个平方数之和，可以用1，不可以用0哦。

读过《三体》，但是您了解三体问题吗？ 三体问题是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。 现在已知，三体问题不能精确求解，即无法预测所有三体问题的数学情景，只有几种特殊情况已研究。 例如太陽系中，考慮太陽，地球和月球的運動，它們彼此以万有引力相吸引，若假設三個星球都可假設為質點，並且忽略其他星球的引力，太陽，地球和月球的運動即可以視為三体问题。 [三体运动图例]

2^n-1这样的数如果是素数，就称为梅森素数。你知道梅森素数为什么被称为数字中的宝石吗？目前最大的梅森素数有多大？它与完美数有什么样的联系？与梅森素数相关的猜想你知道吗？ 听了本期节目，让你重新认识下梅森素数，以及什么样的数字叫“大”。