开普勒猜想最早出现在1611年，德国天文学家兼数学家开普勒写的一本科普小册子里：论六角形的雪花（On the six-cornered snowflake）里。这个开普勒现在最出名的当然是开普勒行星运动三大定律，但他看来是天文、地理都爱好，他也研究过雪花的形状，所以写了这本关于雪花的小册子。 在这本小册子里，开普勒提到了他与英国数学家托马斯‧哈利欧特曾有过通信，通信中他们曾经讨论过当时英国著名冒险家沃尔特·雷利（Sir Walter Raleigh）提出的一个问题：怎么堆放加农炮弹最有效率？这个雷利是当是非常出名的冒险家，也博学多才，帮英国开拓了不少美洲的殖民地。作为一个船长，他当然也关加农炮单怎么堆方的问题。当时的加农炮弹大家电影里都看到过，都是一个个大铁球。在船上狭小的空间内，我们当然希望加农炮弹堆的密度越大越好。用稍微数学语言来表达就是：在一定的空间内，填充相同大小的小球，怎样的填充方式可以使填充密度最大？ 右上：六方最密堆积。右下：面心立方堆积。密度约为74%。 获取完整讲稿和图片，请关注订阅号：dalaoli_shuxue 知乎专栏：https://zhuanlan.zhihu.com/dalaoli-shuxue

正则图的定义就是如果一个图的所有点的度数，也就是所有点的邻居数量相等，则它就是正则图。强正则图它需要在正则图基础上再多两个条件： 1. 对任意两个相邻的点，同时与这两点相邻的点的数目相等，这个数字通常记作希腊字母λ 2. 对任意两个不相邻的点，同时与这两点相邻的点数目也相等，这个数字记作希腊字母μ。 (9,4,1,2)强正则图，也是一个“广义四边形”。 一些佩里图 西力克汉特图 佩特森图 订阅公众号获取音频讲稿：dalaoli_shuxue

1850年，在英国的一本名为“女士和先生们的日记”的杂志中，登载了这么一个数学题：15个女生每天出去散步一次，每次散步三人一组。请问如何安排散步方案，可以使得一周七天内任何两个人恰好一起散步一次？ 7个点的施泰纳三元系： 订阅公众号获取音频讲稿：dalaoli_shuxue 联系大老李：liyouhua @ gmail.com

这个进展要从2011年的一个帖子说起。话说那年在国外一个动漫二次元爱好者的网站（4chan）上有人发了这么一个帖子：怎样以最快的速度看完“凉宫春日的忧郁”，并把所有可能的顺序都到？这句话的意思我得解释一下，这个问题不是二次元爱好者还真不好理解。 ...... 总之，你的目标就是找出一个最短由123组成的数字序列，其中要包含123的所有6种排列顺序。而这种由n个不同符号组成的序列，其中包含有这些符号所有排列顺序的序列要做“超级排列”，其中最短的一种排列方式叫“最小超级排列”，而其长度，叫做n的“最小超级排列数”，或者就简称为n的超级排列数。这个问题理解起来是不是够简单？ 1到4的最小超级排列： 已知超级排列数： 上限：n! + (n – 1)! + (n – 2)! + (n – 3)! +n – 3 下限：n! + (n – 1)! + (n – 2)! +n – 3 订阅公众号获取讲稿：dalaoli_shuxue

目前发现的最大孪生素数： Robert Rankin给出的1到x之间素数的最大间隔： 目前发现的最长的（26）素数等差序列： 43142746595714191 + 23681770·23#·n, for n = 0 to 25. 订阅公众号获得文稿：dalaoli_shuxue （“大老李聊数学”）

第一题，名叫“西尔维铸币问题”（Sylver Coinage game）。“铸币”就是发行货币的意思。问题是这样一个游戏：两个人，轮流说一个正整数，并且你说的数字不能是前面说过的数字的和，但可以重复使用。如此下去，如果某个人不得不说1，则这个人输了。... 第二题：99点图问题（99-Graphproblem）。这里的图还是图论里的图，就是由若干点和点之间连线构成的图，而且两个点之间最多连一条线。问题是：平面上是否存在这样一种图，图中有99个点。99个点中，其中有些点之间有线段连接，有些没有线段，这些线段图论里称为边。现在要求每一条边属于且仅属于一个三角形；而每一对没有边连接的点对属于且仅属于一个四边形。 符合上述条件的9个点的图： 第三题的英文名字是康威生造出来的词（The Thrackle Problem），没有人翻译过。我根据个人喜好，把这个问题叫做“过桥米线问题”，也是一个图论问题。题目是这样：平面上有若干个点，现在还是请你给这些点连线。连线的要求你是，每一条连线与其他每条曲线相交（相切不算）恰好1次，也就是任何两条曲线都恰好有一个共同点，在端点相连也算作一种相交。另外曲线不能穿过自身，且是光滑的（排除分形曲线）。例子： 第四题：不踩死苍蝇问题。康威给的英文名字叫Dead Fly Problem。英文里Fly有两个意思，一个飞行，一个是苍蝇。但是根据题目意思，我认为这里翻译成死苍蝇问题更恰当。问题是这样说的：如果平面上，每个凸的面积为1的区域内都有一个点，是否必然导致平面上有两个点，这两个点之间的距离是任意小？ 发送你的好题至：liyouhua @ gmail.com 订阅公众号获得文稿：dalaoli_shuxue （“大老李聊数学”）

大家好，我是大老李。今天是有限单群分类定理的最后一集，我们讲讲散在单群剩下的一些。这些剩下的单群中，其中一个是所有散在单群里最大的，且有一个很吸引人名字的：怪兽群，也有翻译叫大魔群的，英文就叫Monster Group。 有限单群周期表： 订阅号：“大老李聊数学”（dalaoli_shuxue）

大家好，我是大老李。大家知道最近我跟汪诘老师合作了一期节目，如果你还没听过，请赶紧听一下我已经转采的这期节目。那期节目的文稿是我先写，汪诘老师后续添加和修改了很多内容。我很佩服汪诘老师能把我的文字能改的如此生动，而且讲的时候还很吸引人。这几天我在喜马拉雅的订阅数是蹭蹭的蹿，再次感谢汪诘老师帮我做了一个大广告。 不过因为那期节目做得比较匆忙，我发现我审稿不太仔细，有多处不正确或用词不当处的地方。另外我看节目下方评论很多听众表示“只能感受下黎曼猜想的气质”，听不懂，所以我想用一点时间，给大家解释那期节目的几个有意思的地方，相当于一个更正和语音注释。 首先，那期节目中，我们说：哥德巴赫猜想很不重要，这有点过分。其实歌德巴赫猜想确实在希尔伯特提出的23个问题中间出现，而且恰好是在第8个问题里，跟黎曼假设一起出现的。 不过希尔伯特也清楚的提到，哥德巴赫猜想的优先级是排在黎曼猜想后面的。另外更重要是，不像黎曼假设是能“下金蛋的鸡”，证明哥德巴赫猜想并不能帮我们得出其他太多有用结论。倒是黎曼假设能推出所谓“弱哥德巴赫猜想”。“弱哥德巴赫猜想”是说：”任一大于5的奇数都可以表示为三个奇素数之和。这个猜想现在可以叫定理了，因为它已经在不用黎曼假设的情况下被证明了。但从这一点你就你能看出黎曼假设多有用了。另外虽然黎曼假设不能直接推出正版的哥德巴赫猜想，但是它历史上已经对正版哥德巴赫猜想的研究起过很多作用。 接下来，关于那个有名的数学梗：“全体自然数之和是-1/12”。我是去年才发现这个梗是如此出名，网络上的相关的文章和讨论是如此之多，简直成了“月经”贴。不过这个结论在科学里不是什么用也没有，它确实与量子物理和弦理论有关，各位有兴趣大可以上网看看。这里我要吐槽一下知乎，知乎上有关数学的问题，高赞的帖子往往是那种公式最多的帖子，其实我上知乎并不期望看教科书式的回答，所以我希望知乎上能出现更多把数学问题用简单语言表达出来的回答。 再有人问：节目中说黎曼假设证明后，可以帮我们了解质数的分布。但质数的分布到底是啥？虽然我们没有证明黎曼假设，但我们已经知道那么多质数，所以分布模式我们可以猜一下吗。确实科学家猜了一下并把这种分布模式猜测叫“对关联假设”。而且科学家发现这种黎曼ζ\zetaζ函数零点分布模式与量子的能级分布很像。这里隆重打个广告，各位可以去听听我之前的一期节目叫“看物理学家进攻黎曼假设”，里面有比较详细的解释。 后面，节目中说“目前证明黎曼假设的最佳结果是证明至少有40%”的零点在临界线上，目标是证明“100%”。但这里说目标是证明100%其实欠妥。因为其实数学家已经证明了有无穷多个零点在临界线上，所以如果有有限多个零点不在临界线上，那我们就可以说“几乎100%”的零点都在临界线上，但这样黎曼假设其实还是不成立。哪怕只有一个零点不在临界线上，其他所有无穷个零点都在临界线上，黎曼猜想也是被否定了。所以这里应该说“目标是证明全部零点”，而不应该说“100%”。这里再打个广告，各位可以听我之前一起节目叫“数学用语系列，我”几乎“懂了“。那期节目对”几乎”这个词在数学中的使用有些介绍。 节目后面还提到了一个关于质数的命题，”其反例在e的700多次方之后“，其实这个命题就是关于质数定理的。我们知道质数定理里我们得到了一个关于小于自然数N有多少个质数的估计函数。但是有人统计了一下N到几千万以内的情况，比对这个估计函数与实际情况的差值，发现估计函数的结果总是多一点。于是有人猜想，是不是质数定理的这个估计函数永远比实际值要多点，如果是这样，我们应该考虑从估计函数里去减掉一点对不对？ 但是1914年，李特伍德（John Edensor Littlewood）证明，这个函数与实际情况的大小关系必然会在某个位置发生转换，而且转换将发生无穷多次！于是，人们试图去找这个转换发生的位置，现在最好的结果就是知道这个转换会在e728e^{728}e728次方左右发生一次，但不知是否第一次。但已经验证过101910^{19}1019前没有发生转换，你想想看这有多可怕。 最后提到了两个有关有关体现黎曼假设难度的例子。其中第一个例子是我不久前的一期节目：“有意思的163-关于黑格纳数”里提到的。 第二个例子，有关“德布鲁因纽曼常数”的，这个常数的意思大家别管了，大老李也不懂，但是希望大家能听懂这个常数与黎曼假设的关系。这个常数根据大于0，小于0或等于0的三种情况，决定了黎曼假设的真假，所以我们可以通过找出这个常数的值去证明或推翻黎曼假设。 其中如果这个常数小于等于0，则黎曼假设为真。但“不幸”的是，今年1月，陶哲轩和另一位研究者，否决的这个常数小于0的可能。另外，节目里我们还提到这个常数的上限是½，但我又考证下，这个常数的上限在今年4月已经被改进到0.22。所以这个常数目前我们所知就是处于大于等于0，小于等于0.22，这么小的范围。 你会发现这个区间里大部分是属于否定黎曼假设的范围，因为黎曼假设仅剩下在这个常数=0的情况下成立，就我来看好像黎曼猜想更可能是错的。所以你说黎曼假设难不难，你很想证明它是真的，但现在看上去更偏向假的！ 另外，音频最后提到了哥德尔定理，我之前也做过两期有关哥德尔定理的文章，欢迎大家看看。 好了，以上扯了那么多，希望你对你有帮助。再见！ 订阅公众号：dalaoli_shuxue

这一周以来，数学圈传出来一个大新闻，弄得无数数学家和数学爱好者们都兴奋的不行，有等着见证历史时刻的、也有等着看笑话的、当然，最多的是等着看热闹的人。我当然只能算是等着看热闹的人啦。 事情大致是这样的，9 月20 日当地时间 12:04，北京时间早上6:04 分，德国海德堡论坛的官方推特发了一个推，宣称有一位英国数学家证明了数学界皇冠上的明珠——黎曼猜想，并且要在 9 月24 日这天公开演讲，宣布他的证明方法。这条推特以光速瞬间传遍了全世界。有些人可能奇怪了，这个，我们中国人好像都知道数学皇冠上的明珠不是哥德巴赫猜想吗？唉，兄弟，醒醒吧，那是传说。哥德巴赫猜想在数学界的地位其实很低，既不是希尔伯特 23 问题，也不是千禧年 7 问题。出了中国，知道哥德巴赫猜想的人就不多了。真正的明珠是黎曼猜想，它是当之无愧的，因为它是希尔伯特 23 问题和千禧 7 问题中唯一重合的问题，也是千禧 7 问题中的第一个，克雷研究所开出的悬赏金额是 100 万美金。但是，数学圈也有一个梗，问：这世界上最难挣的100 万美金是什么？答：证黎曼猜想。第一个挣是挣钱的挣，第二个证是证明的证。 我那天早上一爬起来，就被这条新闻刷屏了，实在是太太太火了，所有人都在翘首以盼 4 天后的海德堡获奖者论坛演讲。今天是 9 月 26 日，演讲会开过了，证明论文也公布了，这事暂时告一个段落了。于是，就有很多听众来问我，黎曼猜想到底咋回事啊？证明成立吗？100万美金能拿到吗？密码学是不是完蛋了？等等。那今天的节目我就来做一期黎曼猜想的专题。 首先要说明一点，本期节目的稿子得到了贵人相助，他就是，大老李聊数学，微信公号和电台节目都叫这个：大老李聊数学，李就是木子李，我们去年春节期间在上海一起吃过饭，其实他一点也不老，他目前工作生活在海外，喜欢数学的朋友强烈推荐去看他的公号或者收听节目。另外，限于我们的水平有限，时间也紧张，如果后面说的有什么错误的话，也请大家批评指正，我们有错必改。 咱们先来说说这位弄出大新闻的英国数学家，他就是麦克尔·阿蒂亚爵士，菲尔兹奖和阿贝尔奖的双料得主，可以说，一个数学家能拿到的最高荣誉他全都拿过了，绝对不是民间爱好者，是标标准准的学院派。更加令人震惊的是，他今年89岁高龄，按中国人的算法，今年过 90 大寿啊。 9 月 24 日当地时间的上午，老先生颤颤巍巍地走上了位于德国海德堡市的一个学术论坛，做了一次45分钟的演讲。在这次演讲中，阿蒂亚爵士宣称他证明了一个困扰人类一个半世纪的难题：黎曼猜想，并且是一个“简单的证明”。这话说的那真叫理性、客观、公正，一点不谦虚、也不骄傲。因为他的证明真的很简单，整个证明就5页纸，从他所做的演讲中所使用的PPT来看，真正关于黎曼假设证明的部分就一页!。 那么，他到底证明了吗？很多人可能最关心的是那 100 万美金到手了吗？唉，数学证明这事吧，还真的没法给你来个一句话回答，有点复杂，你得听我从头讲起，完了你就能明白我为啥无法一句话回答你。估计今天这期节目会让部分听众不明觉厉，不用害怕，不明觉厉的感觉其实也挺爽的。我这段时间看的很多公号文章都是这个感觉，但我还是津津有味地读完了。 要说黎曼猜想的历史，其实就是人类研究质数的历史。可以说质数，从其概念诞生的第一天起，就一直困扰着人类，大老李的稿子上写的是人类两个字，说实话，顶多也就困扰数学家和数学爱好者吧，99.99% 的普通人谁会为了质数困扰啊，你们说对吧？不过，质数的性质确实令古往今来无数人着迷。有关质数的未解之谜非常多，数学家在不同阶段只能着重去解决有关质数最紧要的问题。在18世纪，数学家重点考察的一个问题是：小于自然数N的质数数量是多少？比如说，1万以内的质数有多少个？我们可以数一下，有1229 个，10 万以内是9592个，但是 1 亿以内呢？1亿亿亿以内呢？能不能找到一个规律呢？据说17岁的高斯，仅凭统计数据和画曲线拟合就猜想：小于自然数X的质数大约有X/lnX个。有些人可能忘记这个 ln 是什么鬼了。就是以 e 为底数的对数，不是 1 、2 、3 的1 啊，是 a、b、c、d、e 的e，这是一个无理数，就好像圆周率 π约等于 3.1415926535897932384626433 巴拉巴拉，这个 e 约等于2.718281828459 巴拉巴拉。lnX的意思是，e的多少次方等于X，比如 ln10000 的意思就是 2.718的多少次方等于 10000 呢？答案约等于9.21，我们把10000 代入高斯猜想，约等于 1086，和实际的质数个数 1229 比较接近，如果把 100000 代入高斯猜想，结果是 8686，和实际的质数个数 9592 个也比较接近了。 经过后来很多数学家的研究后，高斯的这个估计是正确的，但大家也看出来了，不够精确。后来高斯和勒让德不约而同的还提出了一个新的估计式， 嗯，这个公式我没法念了，放在文稿中了，大家自己看吧，反正很复杂。 这个估计式被称作质数猜想。这个猜想到1896年被法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德拉瓦莱普森（CharlesJean de la Vallée-Poussin）先后独立给出证明。质数定理未被证明之前是数学中最重要的待解决问题，没有“之一”。 而质数定理被证明后，黎曼猜想就变成数学中最重要的问题，没有“之一”了。黎曼猜想的出现时间恰好是质数猜想提出之后，未证明之前，同样也是有关质数的分布问题。 黎曼1826年出生于汉诺威王国，20岁时，按父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学。但是，出于爱好，他去听了高斯在哥廷根大学的一些数学课程。高斯慧眼识才，觉得这个年轻人的数学天赋不简单，就建议他不要学神学了，改学数学。经过父亲同意后，黎曼转入柏林大学学习了两年数学，当时在柏林大学那可是名师云集啊。两年后，他返回哥廷根大学继续深造。并在1851年，25岁时获得了博士学位，他的导师不是别人，就是高斯。 我给你讲两个传说中的小故事来让大家体会一下这位数学大牛有多牛，第一件事情是1854年，他为取得哥廷根大学讲师职位所作的入职演讲。当时的传统是，有新人入职，必须做一次体现自己学术水平的演讲，这有点像“投名状”。黎曼准备了三个题目，其中一个题目是关于几何基础的，这个题目黎曼自己不是很喜欢，准备也不多。但是高斯偏偏让他讲这个题目。就是这个他“不喜欢不擅长”的题目，后来开创了一门新的几何学，大名鼎鼎的“黎曼几何”，这可是后来爱因斯坦广义相对论所使用的数学基础之一啊。 第二件事情是在1859年，他当时33岁。作为当选柏林科学院通信院士的回报，他发表了一篇论文，题目是“论小于给定数值的质数个数”。这个标题听上去就是质数猜想，但实际其论文的意义要远超质数猜想的结论。 就是在这篇论文中，他提出了一个函数，著名的“黎曼zeta函数”和三个有关这个函数的命题。为了让你能够初窥黎曼猜想的气质，我要给你介绍一下这个zeta函数，咱们不用追求完全搞懂，能够感受一下这个颗数学王冠上的明珠的气质就好了。Zeta函数的历史可以追溯到约300年前的欧拉时代。 我把它转换成我们中学熟悉的代数字母，就是这样的： 这个 x 如果取 1，那么就是 1+1/2+1/3 + …一直加下去，如果x 取 -1,那就刚好是所有自然数的集合 1+2+3+4+…。如果你还记得我们高中里学过的最基本的级数求和的话，应该还记得，这两个级数的和都是发散的，也就是说，结果是无穷大。但如果这里的 x 取2，那就不一样了，实际上就是全体自然数平方的倒数和，这个级数的和是收敛的，收敛的意思就是说会等于一个具体的数字，它等于π的平方除以6。实际上，在这个函数中，只要 x 的取值是大于等于 1 ，那么，就一定是收敛的了。大家要知道，我们如果在坐标系中画出函数的图像，那么这个函数不能是发散的，你想啊，如果 y 的值是无穷大，那这个图像就没法画了嘛。所以，这个 zeta 函数想要画出有意义的函数图像，x 的取值就必须是大于 1，我们就把这个大于 1 称作函数的定义域。唉，说到这里，可能有些正在读高中的听众会嫌我啰嗦。同学，跟你说个恐怖的真相，高中阶段就是你理科知识的巅峰阶段了，除非你是当科学家的料，从高考过后，你的理科知识就会一路狂跌了，等你到了我这个年纪，就知道我刚才说的那些像是回到高中课堂的基础知识，对大多数听众来说都是必须的。 刚才讲的是 zeta 函数，但不是黎曼zeta函数，黎曼 zeta 函数是对欧拉 zeta 函数的一种扩展。这个扩展过程，术语称为“解析延拓”，其要点之一就是拓展后的函数要保持原先定义域上的函数值，这样才叫一种“拓展”。黎曼把zeta函数的定义域扩展到了整个复数平面，而且仅在函数变量取 1 的时候是发散的。刚才说的那个复数平面的复不是正负的负，而是复杂的复，那边有人说了，大兄弟，复数平面没听懂，再解释一下吧。我给你点个赞，这位听众是个率真的人，没有假装听懂了。所有的数可以分为实数和虚数两类，凡是平方之后是正数的数都叫实数，平方之后为负数的数就叫虚数。在数学中我们用小写的字母 i 来表示根号 -1，所以，任意一个复数就可以写成 a+bi 这样的形式，a 就被叫做这个复数的实部，b 就被叫做这个复数的虚部。那什么又是复数平面呢？大家知道，所有的实数都可以在数轴上找到一一对应的点，也就是说，如果把所有的实数连起来，就是一根连续的直线，现在我们把所有的虚数也连起来，又可以得到一根直线。那么我们就可以像画笛卡尔坐标系那样，横着画一根直线表示实数，竖着再画一根与之垂直的直线表示虚数，那么任何一个复数就是这个坐标系中的一个点了，实部的投影在实数轴上，虚部的投影在虚数轴上。这个就叫做复数平面啦。 黎曼 zeta 函数就是通过解析延拓的方法，把定义域扩展到了整个复数平面上，这下能感受到一点黎曼zeta函数的气质了吧。 这里插播一下，你可能听到过一个有关数学的高级梗，说黎曼证明了“全体自然数之和为-1/12”。这个梗就是从黎曼 zeta 函数来的，因为，如果把-1代入，计算所得结果为负十二分之一（-1/12）。然后有人就把 -1代入到原先拓展前的级数表达式中，说，你看，全体自然的和不就是 (-1/12) 吗，这个其实是欺负业余数学爱好者不太深入了解解析延拓的梗，不过很多爱好者似乎很乐意被欺负，喜欢津津乐道的传播这个梗。你看，我今天又传播了一次不是。 黎曼当然不会去搞这些小聪明，他专注于考察什么样的取值会使得函数的值为0，他把这个称为zeta函数的“零点”。考察下来，他发现，这个函数有一些很明显的零点，就是负偶数，如果你把负偶数代入函数，就等于零。这个结果是显而易见的，所以，黎曼把这些称为平凡零点。所以我们还可以开玩笑说：“全体自然数的平方和为0”。 但黎曼还发现这个函数有些不太明显的零点，他把这些零点叫做，非平凡零点。对此，他提出了三个命题： 第一个是：Zeta函数的非平凡零点都在实部大于0小于1的带状区域中，后世称为“临界带”。这个命题黎曼称为“显而易见的普适结果”。但后来人们这发现一点也不“显而易见”，这命题直到49年后才由 芬兰数学家梅林和德国数学家蒙戈尔特证明。 第二个是： Zeta函数非平凡零点“几乎”都在实部等于1/2的这条线上。这里的“几乎”是个数学术语，大致意思是不在这条线上的零点数量与这条线上的零点数量之比趋于0。 第三个就是把第二个命题的“几乎”去掉： Zeta函数的非平凡零点都在实部等于1/2的这条线上，被称为“临界线”。这个命题就是著名的价值100 万美元的“黎曼猜想”，本期节目讲到一半了，黎曼猜想是什么终于出来了！ 不知道你听懂了没有，我再给你总结一下。黎曼猜想就是说： 黎曼在欧拉的一个叫 zeta 函数的基础上，拓展出了黎曼 zeta 函数，他发现，要让这个函数的计算结果为零，变量 x 的取值要么是全体平凡的负偶数，要么就是无穷多个不平凡的复数，如果把这些不平凡的复数连起来，它们就会全部落在复平面上的一根垂直于实数轴1/2 这个点的直线上。嗯，简单来说，黎曼猜想就是一根超凡脱俗的金色竖线。 怎么样，搞明白黎曼猜想了吗？我想，即便没弄明白，至少能感受到它的气质了吧。哇，好高冷的气质啊。这也就是为什么宣称证明哥德巴赫猜想的民间数学爱好者有许许多多，但是宣称证明黎曼猜想的民间数学爱好者我没见过一个，因为人家的气质太超凡，一般的数学爱好者想弄明白这个猜想到底是咋回事都很困难，更不要说去证明了。 黎曼在提出黎曼猜想时是十分谨慎的，他的用词是“很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上”。但不管怎样，黎曼的这篇论文体现了极为高深的数学修养和造诣。黎曼的数学水平简直深不可测，因为在他的文章里经常会提到类似“显而易见”、“不证自明”的字样，但其中有很多对于其他人来说，并不是“显而易见、不证自明”的，可这些内容后来大多数都被证明是正确的了。你说人和人的差距怎么就那么大。 不过天妒英才啊，黎曼在1862年，染上了肺结核，这在当时没有好的治疗方法。1866年，他在去意大利疗养途中去世，年仅40岁。但是，还有比黎曼早逝更悲剧的事情，他留下的手稿，大部分都被他的无知管家烧掉了！唉，雇一个有文化的管家多么重要啊。而留下的一小部分被他老婆保留了下来，并赠送给了黎曼生前的好友，另一位德国数学家戴德金。你说这是幸运吧，可黎曼老婆后来觉得黎曼的手稿里有很多私人和家庭方面的隐私信息，她又反悔了，向戴德金要回了一部分手稿。 在这些被要回来的手稿中，有一本小册子被认为十分重要，那本小册子是1860年左右，黎曼在刚提出黎曼猜想不久后所使用的。很多人认为那本小册子里有黎曼对zeta函数零点问题的重要思考和计算。但这本如同九阳真经一般的小册子被黎曼老婆索回后就不知所踪了，唉，取一个有文化的老婆也很重要啊。有人说那本册子后来被德国数学史学家哈根收藏，但哈根 1946 年死于二战后十分混乱的德国，他的遗物从未被发现过。 但即使在黎曼留下的不多的手稿中，也有一个惊人的大发现：黎曼提出黎曼猜想时，不像有些人认为是“凭直觉”所得，而是扎扎实实、认认真真的计算过黎曼zeta函数的大约前10个零点，也有人认为达到20个，这一发现是在1932年。要知道黎曼去世后，其他人再次“找出”zeta函数零点的计算方法花了四十四年，而且人们发现黎曼用的方法，比当时1932年已知的任何零点计算方法都要先进，也就是黎曼领先了其他人约70年时间之多！让我再次膜拜一下这位大牛，我在做这期节目之前，我一直认为最牛的数学家是欧拉、高斯这些神人，现在才知道，真正的神人是黎曼啊。 黎曼zeta函数的0点计算不但需要高超数学技巧，还需要很多的耐心，那是一个没有计算机的年代。但黎曼为什么还要那么如此费心的去手动计算zeta函数的零点呢，就是因为他明白黎曼猜想的重要性。 这个重要性在于黎曼猜想与质数分布有极大的关联性。前面说过“质数定理”给出了小于自然数N的质数数量。但如果证明黎曼猜想，我们就不但能知道质数的数量，而且能知道质数的“分布情况”。就像概率学当中，我们知道随机变量可以是均匀分布，正态分布等等。那同样也可以问“质数的分布”是啥？黎曼猜想就能回答这个问题。 另一方面，从黎曼猜想诞生至今150多年以来，人们发现有上千个命题可以从黎曼猜想中推出，以至于人们都经常把黎曼猜想当做真命题使用，所以它也被称为“黎曼假设”，像是数学里一只“会下金蛋的鸡”。而可想而知，如果黎曼假设被证伪，那将是人类对质数认知的一次重大打击，那上千个命题中有一大半会挂掉，也就是那些以黎曼假设为必要条件的命题。 到目前为止，人类对黎曼猜想证明的最佳结果是1989年，美国数学家康瑞（Conrey)得出的：zeta函数至少有约40%的零点在临界线上。这与最终结论需要的100%还是有非常大的差距。说实话，在数学中，哪怕证明了 99%，但距离 100% 还有无穷远。 另外，人们也用计算机计算了黎曼zeta函数的上万亿个零点位置，无一发生例外，很明显继续计算是毫无意义了。而历史告诉我们，有关质数的命题，再多的实证也是白搭，数学家曾经发现过一个关于质数的命题，它的反例会发生在 e 的700多次方这种恐怖的大数字之后。 另外，一个大家熟知的事实是，2000年，美国克雷数学研究所提出了“千禧年7大数学难题”，每个问题悬赏1百万美元，黎曼猜想当然位列其中，而且是排在第一个。这七个问题，都是当今数学中最为困难也是最有价值和意义的7个问题，到现在仅有庞加莱猜想被解决。 关于证明黎曼猜想的困难程度，我还可以举两个例子证明： 一个是关于“高斯类数”的命题，这个命题内容不重要，关键是这个命题的证明模式是这样的：如果黎曼假设成立，则这个命题成立；如果黎曼假设不成立；则这个命题也成立；所以这命题成立！但是黎曼假设是否成立，我们还是不知道。这个命题的证明模式不但可能是数学史上独一无二的，更重要的是，它也告诉我们：“黎曼假设很难，因为它处于正确与不正确的边缘”。如果黎曼假设偏于正确或者偏于错误更多一点，则以上推导模式必有一种会失败。而以上推导模式能成立，则必然说明，黎曼假设处于正确和错误的边界上，即：比黎曼假设强一点的命题必错误，比黎曼假设弱一点的命题，必成立。 另外一个例子是有关“德布鲁因-纽曼常数”。这个常数与黎曼假设有这样的关系： 如果该常数大于0，则黎曼猜想是错的。 如果该常数小于0， 则黎曼猜想为真，且有“余地”地偏向真。 如果该常数等于0，则黎曼猜想还是为真，但处于真或假的边缘，且靠“真”的这一侧。 说实话，上面这三个结论真的让我难以相信是数学的结论，越听越像是经济学或者政治的结论，什么处于真假的边缘，而且靠近真的这一侧。大致查阅了一下，实在弄不懂，算了，还是那句话，我们感受一下气质吧。 那现在对这个常数的研究结果是是什么，目前的最好成果是：这个常数不超过1/2。而著名澳籍华裔数学家陶哲轩和另一位研究者在今年1月合作发表的论文中，有待评议地证明了德布鲁因-纽曼常数大于等于0。所以，目前我们的最好成果就是，这个常数介于0和1/2之间，准确地说就是大于等于0，且小于 1/2，那这样一来，黎曼猜想如果是真命题，就必须要证明这个常数不多不少，刚好等于0。现在，我们发现这个常数处于如此狭小地接近0，但是偏向否命题的区间内，则再次说明黎曼猜想是恰好：“位于对与错的边缘，让人不知如何挑选”。 还有一个比较搞笑的例子是：曾经有一位数学家接受采访时说，他研究黎曼猜想的方式是第一周，他会尝试证明黎曼猜想。第二周，他会尝试证伪黎曼猜想，第三周再回到证明猜想，如此循环往复。因为他怕自己站错队伍，跑错方向，而把自己一生给浪费了。 不过，说到这里，我又想到了著名的哥德尔定理，数学家哥德尔证明了一个让许多数学家三观崩溃的定理，简单来说，就是在数学中，会存在一些用数学本身既不能证明是真，也不能证明是假的命题。换句话说啊，一个数学命题，如果你假设它是假的，也就是用反证法，你不能用数学方法推导出矛盾的结论。但是，如果你假设它是真的，也不能用数学方法推导出矛盾的结论。数学就是这么神奇。老天保佑黎曼猜想不是这种真假莫辨的命题。 好了，关于黎曼猜想的历史我就说到这里。 那我们再来看看这次阿蒂亚爵士的新闻事件。 话说阿蒂亚爵士新闻刚出来的时候，我第一反应就是，这可是爆炸性新闻啊。第一时间就尝试搜索英文相关报道。但是第一天的时候居然没有任何报道，这不是一个好兆头。第二天总算有些报道了，其中《新科学家》杂志说：他们询问了一些数学家的意见，但是所有人都拒绝了评论。 但是网上的评论大多是持悲观态度的，给出的理由通常是这样四个： 1. 阿蒂亚的讲座只有45分钟。这么重大的话题，45分钟的规格显然太小了。对比一下怀尔斯公布费马大定理证明的讲座，搞了三天，每天净演讲时间至少三小时。 2. 阿蒂亚已经89岁了，而当代数学家在60岁以上作出重大贡献的很少。张益唐在58岁推动孪生质数猜想的研究的例子，是一个例外中的例外。 3. 阿蒂亚最近几年多次声称证明了一些命题，但没有被同行接受的，比如2016年一篇名为“不存在复数6球面”（“Non-existent complex6-sphere”）的文章。 4. 阿蒂亚声称有一个“简单的证明”。但历史上，持续很久未证明的命题基本没有任何最终出现“简单”证明的例子，倒是一些命题一开始有的“简单证明”后来被证明是有错误的，比如“费马大定理”，“四色定理”都出现过这样的简单证明。 而对阿蒂亚爵士有利的情况只有一个，就是他提到了他的证明用到了“冯·诺依曼，狄拉克等人的成果。这个表述比较具体，提供了一些他证明的背景。 后来的情况是，阿蒂亚的证明论文提前在预印本网站上被放出来了，演讲那一天，我们又看到了他的PPT。论文实在是短的很，而且用到了物理中的一个所谓“精细结构常数”和用他老师命名的“Todd函数”。但是基本业内没有人理解他的这个Todd函数，也几乎无人看好他用的物理领域的结论去证明数学猜想。 阿蒂亚爵士在演讲的时候说了一句很有趣的话，他说：“如果你默默无名，而你证明了黎曼猜想，你就出名了；而你已经出名了，你又证明了黎曼猜想，那你会变得声名狼藉”。看来阿蒂亚爵士对他此次的这个举动的后果是有一定估计的，所以我也只能说老先生的精神可嘉。 会上也有人问了阿蒂亚爵士是否会去领克雷研究所的那100万美元奖金，他回答：“是，我的结果值得那个奖”。但是克雷研究所目前对此事仍然保持沉默。从之前两次重要数论猜想被证明的经验来看，也就是怀尔斯证明费马大定理和佩雷尔曼证明庞加莱猜想，对证明的验证工作一般要持续 2 年之久，当然，这是指最终被证明是正确的证明，如果是错误的证明，恐怕用不了那么久。因为数学论文中，只要有一行被发现错了，全部的论文就都错了。 关于后续发展，我借用卢昌海先生在他博客上的评论，卢昌海老师写了一本很好的科普书，就是我现在手头这本《黎曼猜想漫谈》，可以说，昌海老师对黎曼猜想是非常了解的，他是这么评论的： “事情的发展很可能性会印证我所猜测的，即数学界出于对阿蒂亚爵士的敬重，不愿让他难堪， 保持缄默令其不了了之 (事实上， 阿蒂亚爵士的前几次错误也基本是如此落幕的，私下沟通容或有之，但数学界并未大张旗鼓地宣称他的错误)。若如此，“吃瓜群众” 的议论也许就是全部议论了” 我和大老李都挺赞同，不了了之大概是此事件最可能的结局。所以，大老李说他有99% 的把握，黎曼猜想在今后很长时间内仍然是猜想。如果我们有生之年能看到黎曼猜想的解决，那是我们非常大的幸运。要知道，著名的数学家希尔伯特曾经说，假如 500 年后我能活过来的话，我最想问的第一个问题是：黎曼猜想被证明了吗？但是，我们还是要对阿蒂亚爵士保持着崇敬之情，我也很希望有人哪怕能从阿蒂亚的论文中发掘出一丁点有用的地方。 最后破除一个黎曼猜想的小的谣言，就是“证明黎曼猜想会让密码体系崩溃”。可能是因为黎曼猜想与质数相关，而我们确实有一种常用的密码体系RSA算法是依赖质因数分解问题的。但黎曼猜想虽然很强大，但是证明黎曼猜想并不能帮我们加速判断一个数是否为质数，也不能帮我们更快的分解一个合数，所以不可能影响那个加密体系。或者也可以这样想，我们早已经把黎曼猜想当成是一个真命题来用了，如果它会影响加密体系，那早就影响了，不用等到它证明的那一刻。说比特币系统会崩溃的，那是不知道，比特币系统用的加密算法是椭圆曲线算法 SHA，不需要用到大质数，这个我在介绍比特币和区块链的文章中也详细介绍过。 不管怎样，此次事件虽然结局不太会真的证明黎曼假设，但能使更多的人了解这个数学中最重要也超困难的问题，不失为一件好事情。 你们想，如果不是因为有这个大新闻再加上我这个标题党的震惊体标题，你们有多少人会认真收听我这期谈数学的节目呢？ 但是，数学真的很好玩，很有魅力，我最近一直在酝酿谈数学的节目，希望能有更多人能关心数学喜欢数学，今天这期算是一个开端吧。 最后，再次感谢一下本期节目的第一撰稿人大老李，强烈推荐他的公号和节目：大老李聊数学。他的口号是：数学不可怕，可怕的是你怕数学。

这次临时做个活动预告。订阅大老李微信订阅号的听众都知道大老李会在微信中每星期推送一道趣味题目，供大家消遣。但是下一期节目，您不但能答题，还能赢得一本书作为奖品！ 因为最近恰逢汪诘和吴京平两位老师各自的科普新书《亿万年的孤独》和《无中生有的世界》上市，两位赠给大老李各一本他们的新书，大老李想到正好可以搞个答题奖书活动。 活动规则如下：北京时间本周日，9月23日上午9点，大老李会在微信订阅号中推送新一期的“每周一题”，您看到之后可以马上开始答题。答案请直接在原订阅号下方留言。到下周日，我会公布不该活动的答案，并取答对题目的前两名听众各自获得汪诘和吴京平老师的新书中的一本。 再强调一次，请务必在文章下方留言，而不要直接发送消息。因为答案公布后，我会把得奖听众的留言作为精选留言公布出来，大家也可以比对一下自己回答的时间先后，确保公平。 好了，活动介绍到这里，如果你还没有订阅大老李的订阅号，请马上在微信中搜索”dalaoli_shuxue”订阅，不要错过机会。

这26个群虽然很奇怪，但是数学家根据它们之间或强或弱的联系，还是分成了四类。最早发现的一类叫“马蒂厄群”，它们是1860，70年代法国数学家马蒂厄发现的，甚至比李群的发现还早些。要理解马蒂厄群，我们还是可以先做一道智力题：请你在纸上随便画7个点，然后给这些点连线。连线要求是，每条线恰好经过三个点，不一定是直线，任意的曲线都行。而且连好之后，任意两个点属于且仅属于一条线，就是不能有任何两个点之间没有连线或者有多余1条的连线。你可以暂停试试看这道智力题。 三维中的kissing number problem: 上图： 120元胞体，一个四维的晶格 微信订阅：dalaoli_shuxue

大家好，我是大老李。在连续两期有关群的话题之后，顺理成章的想跟大家聊聊群论中非常重要和有意思，也是整个数学中最为宏大的一个定理：有限单群分类定理。 说它宏大，一个是时间上，从问题提出到解决大约经历了一个半多世纪时间，当中曾经在1983年有人宣布它被证明了，但后来发现其中还有些遗漏的地方，全部漏洞被完整填补又花了25年，到2008年左右人们才普遍认为它真的是被证明了。 另外一方面说它宏大是在空间上，因为这个定理的证明包含了100多位数学家的500多篇论文，总页数多达15000页。这个数量已经多到任何一个人穷尽一生都难以阅读完的地步。后来有数学家决定用当今最新数学工具和语言重新写一遍它的证明，但最终产生的证明还是多达5000多页。所以从证明长度来讲，我们排除那些用计算机辅助的证明的那些命题，只考虑真正写出来供人阅读的证明，那这个定理的证明总长度绝对是最长的。 2次，3次，4次交错群的图表示：