大家知道，中国古人使用天干地支纪年法，比如今年2018年是戊戌年，去年是丁酉年，而明年是己亥年。推算也很简单，就是十个天干：甲乙丙丁午己庚辛壬癸和十二地支：子丑寅卯，辰巳午未，申酉戌亥，两两组合成一对，就是这一年的年号。 ... 比如要计算“甲子”+“戊戌”，我只要找到历史上任何一个甲子年和戊戌年的公历年份相加就可以了。比如我查到公元124年，汉安帝延光三年是一个甲子年，而1058年北宋嘉佑三年是戊戌年，所以我就计算124+1058=1182。我又查了下1182年，是南宋淳熙九年，是壬寅年，所以“甲子“+”戊戌”=“壬寅”。类似，比如还有“甲子”+“乙丑”=“己巳”，“丁丑”+“辛卯”=”戊申”等等。而且你会发现这个运算法则的神奇之处在于它并不依赖具体取哪一个公历年去对应这个干支年，不管你怎么选，计算结果是一样的。我前面特地选数字比较小的，因为比较好算。当然你也可以一次性列出这个60个称谓两两互相相加的3600中组合结果作为这种加法的定义。 .... 五行相生相克图： 订阅微信获取讲稿：dalaoli_shuxue

大家好，我是大老李。之前有听众想让我聊聊数学里的“群”概念，讲讲群论。我们平时经常可以看到一些数学文章里会提到各种各样的“群”，比如“李群”，“对称群”，“单群”等等。这些术语听上去是有点高大上，但其实“群”这个概念本身却十分简单。所以本期节目就想帮助不了解“群”概念的听众，快速理解下什么是“群”。 一个示例的家谱： 根据本期节目定义的“加法”，我们有： 外甥+外甥女=“大姐+姐夫” 外甥+侄儿=“爸爸+妈妈” 群(G,·)是由集合G和二元運算"·"构成的，符合以下四个性质（称“群公理”）的数学结构。其中，二元运算结合任何兩個元素a和b而形成另一個元素，记為a·b，符號"·"是具體的運算，比如整數加法。 群公理所述的四个性质为: 1. 封閉性： 對于所有G中a, b，運算a·b的結果也在G中。b[›] 2. 結合律： 對于所有G中的a, b和c，等式 (a·b)·c = a· (b·c)成立。 3. 單位元： 存在G中的一個元素e，使得對于所有G中的元素a，总有等式 e·a = a·e = a 成立。 4. 逆元： 對于每個G中的a，存在G中的一個元素b使得总有a·b = b·a = e，此处e为單位元。 阅读节目文稿请微信订阅: dalaoli_shuxue

欧拉公式： 欧拉公式推导： e^x在复平面的图像，分实部和虚部： 阅读节目文稿请微信订阅: dalaoli_shuxue

要说163的这个特别性质，我们要从质因数分解说起。我们小学时候就知道质因数分解这件事，而且有一个定理叫：唯一因子分解定理。意思就是任何一个整数的质因数分解方式是唯一的，不可能有两种方法。这个定理是如此重要，以至于它有另一个名称叫“算术基本定理”。 但你有没有想过，在引入虚数之后，这个质因数分解有了些新的变化。比如我们算一下(1+i)(1-i)=1-(-1)=2，这样好像2就有了一种因数分解方法了。当然如果你看到这个结果就当一个奇淫巧技，一带而过了，那什么也不会发生。但大数学家高斯不这样么想，他在1801年出版一本数论巨著叫《“算术研究”》中提出了两个与这个因数分解问题相关的猜想。 请关注订阅号：dalaoli_shuxue

塑料常数的定义很简单，它就是方程x^3=x+1的唯一实数根，约等于1.3247或4/3，它的根式表达形式： （上图：20个不同的正方形，当边长差距达到4/3时，你会把它们分为两类） （上图：左边为黄金分割的构造，右边为“塑料常数”的构造。取一条线和两个分点，构造6条不同长度的线段，使得相邻长度两条线段比相等。比值即为“塑料常数”） （上图左:按黄金分割比切割的正方形。上图右：长宽高按‘塑料常数’构造的立方体，你能看出'清晰感'吗？） （上图：我随手找的“内六角扳手尺寸表”，这里面有“塑料常数”吗？） 微信搜索：dalaoli_shuxue，订阅“大老李聊数学”公众号

你可能听说过计算机里的随机数生成算法叫“伪随机数生成算法”，又叫“决定式随机位生成器”（deterministic random bit generator (DRBG)），意思就是它能随机生成1个二级制位，0或者1，而且是50%概率。为什么这种算法都是二进位的生成器？因为平时我们使用均匀分布随机数的场合是最多的，有了均匀分布的随机数，转换成其他分布也是比较简单的。而计算机内部又都是二进位，我有了产生0和1的二进位生成器，如果一个计算机内部浮点数是小数点后有32位，那我就可以产生32位随机二进位，作为0之后的32位小数位，这样我可以产生0-1之间的均匀分布的浮点数，供用户使用。 那为什么又叫“伪随机数生成算法”？为什么加一个“伪”字？很自然就是因为它达不到上一期讲过的“真随机数“的要求，目前计算机架构下也永远不可能有”真“随机数生成算法。但好在实际运用中我们不需要那么高的要求，在实际使用中，我们只要保证根据相当长历史随机数，你无法用当代主流的计算能力，在相当长的时间内，对我之后随机数的猜测的成功或失败概率，与½之间，无法产生任何“显著”的区别，或者用一个术语，就是差别是“可忽略的”（neglectable），就是你猜我随机数的成功失败概率与瞎猜之间的区别是可忽略的，那我就是很放心的。 线性同余法Python代码片段(作者: John D. Cook)： for _ in range(N): z = a*z % m # LCG bit_string += format(z, formatstr) 岩浆灯： 公众号订阅，微信搜索：dalaoli_shuxue

如果我想让你生成一串0和1的数字序列，而且符合所谓0-1二项分布，0和1的概率各50%，你会怎么做？当然，这很简单，你可以拿一枚硬币不停的丢，看到正面写个0，背面写个1。当然，也会有想偷懒的朋友会说，我就直接瞎写就可以了，只要我0和1写的总数差不多就可以了。现在问题，如果我给你两个0-1的序列，其中一个是某人用丢硬币的方法产生的，另一个是某人“随便”手写产生的，请问你有办法鉴别出来这两个序列哪个是丢硬币产生的，哪个是“手写”产生的？ 但数学里，特别是密码学里，还是给“真”随机数给出了一个定义，比如”真正”的符合1/2对1/2概率的0-1二项分布的随机变量定义就是这样：设想一个游戏，我是给出0-1分布随机数的，你是猜随机数的。我每次会产生一个0或1的随机数，你要去猜。你有几个便利条件，我允许你在猜之前向我要任意多的数量的随机数。也就是说，你可以研究过往随机数的历史，如果你认为这对下一次猜测有用的话。而且你想要多少我就给你多少，这是一个便利条件。另一个便利条件是你有一个无限计算能力的计算机，要多块就多块，也就是你可以尽情的在猜之前利用这台机器机去分析，甚至于我可以先产生一个新的随机数，但不给你去看，你还是尽可以去算。等你觉得算够的时候，你就可以猜0或是1。而所谓“真”随机数就是，这个游戏经过非常多次之后，你能猜对的概率仍然是½，那么我产生的随机数就是所谓“真”0-1二项均匀分布。 微信公众号订阅：搜索"dalaoli_shuxue"。

卡农并不是特定的某个曲子，而是一种作曲的格式，就像唐诗有绝句，有律诗一样，卡农是一种格式。其基本结构而言就是两段相似甚至完全一样的旋律，在时间上有一点错位，产生一种纠缠回旋感觉的旋律。 巴赫莫比乌斯带卡农，原五线谱有“滑移反射”效果： 做成“莫比乌斯带”： 巴赫“永不终止的卡农”的音高走向图，六轮叠加，每一轮升高一个全音： 订阅“大老李聊数学”公众号：dalaoli_shuxue

大家好，我是大老李。今天节目主题叫“埃尔德什偏差问题”(Erdos Discrenpency Problem)，让我们还是从一个有意思的故事去理解这个命题。 临近毕业季，你的学校有一个奇怪的毕业仪式，你只有完成这个仪式或者说是一个极具挑战性的任务，你才算正式毕业了。这个挑战是这样的：你站在学校操场上的某个位置，你的任务就是绕操场走完一圈。但是有个规则是，你的某个同学会给你准备一大堆排序好的指令卡，每张卡上写着+1和-1这样的数字，意思就是顺时针或者逆时针前进一步。这些指令到底怎么排列完全是这个同学指定的。而你必须按照这个同学给你准备的指令向前或者倒着走。但不管是顺时针还是逆时针，只要走完操场一圈你就是完成挑战。你可能会说如果这个同学坑我，他给我的指令就是+1，-1，+1，-1，这样交替进行的指令，我不是永远走不完了吗？ ... （上图：10岁的陶哲轩与72岁的埃尔德什, 1985年） 订阅“大老李聊数学”公众号

“为什么说实数是连续的，能够布满一条数轴？” 相对应的，为什么有理数就不行，也就是有理数是不连续的，有很多断点的？ ..... 前面戴德金拉拉杂杂说了那么多，现在重点来了，他其实就是想说，既然分割点不一定是有理数，那我就定义一种数叫“实数”，每个实数就对应以上的一种对“有理数”的切割，也就是一对左集和右集，唯一对应一个叫实数的数。这个定义重要的一点是，它是根据有理数定义出来的，而没有用到更多前提；第二点，根据切割的定义，我们可以知道切割出来的实数天然具有有序和稠密性，而且它的定义就证明它与直线上的点是对应的，因为实数就是对直线任意位置切割产生的，所以它就是与数轴对应的！而这种“连续”，也被称为“戴德金完备”性，也就是说完整了。 戴德金切割图示： 订阅“大老李聊数学”公众号

大家好，我是大老李。今天聊个最近的一条数学新闻，是关于一个业余数学爱好者的一个新的数学发现，这个发现是关于一个叫“哈德维格-纳尔逊问题”的。这个问题1945年先由瑞士数学家哈德维格发表，1950年普林斯顿大学数学系教授纳尔逊将其正规化，因此后来将此问题命名为：哈德维格-纳尔逊问题。这个名字有点长，所以之后节目里我就把它简称为“哈纳问题”。这个哈纳问题被马丁加德纳于1960年在《科学美国人》杂志上发表，名声一时大噪。 它到底是怎样的呢? 它又是一个着色问题：请你给一个平面上所有点着色，着色目标是是使得所有距离为1的两个点能着上不同的颜色，问最少需要几中颜色？这个问题是不是粗听有点像四色定理，但是一个重要的不同是，它涉及到距离为1，这个确切的长度要求，这也意味着它不是像四色定理那样可以对形状任意扭曲变形的拓扑问题。 Polymath项目地址：http://t.cn/R3803sw 将平面用对角线距离略小于1的正六边形密铺，可以证明"哈德维格-纳尔逊问题"的上限是7： 莫泽纺锤(Moser Spindle)： 格雷医生发现的无法用四色着色的单位距离图(unit-distance graph)，有1581个点: 关注“大老李聊数学”公众号：

大家好，我是大老李。今天聊个简单的话题，就是有关我不久前在节目里出过的两道概率题。你还没听过的话可以暂停先翻过去两集，听一下原题思考一下。这期节目我就跟大家聊聊这两道题，不是单纯说个答案，而是讲讲这两道题的有意思的地方和我的一些感想。 第一道题是这样的：你有一个邻居，他有两个小孩。至少有一个是男孩，问两个都是男孩的概率？你的第一个感觉是1/2对不对？但正确答案是⅓。 理由是两个小孩的组合有四种：男男，男女，女男，女女。现在知道至少一个男孩，那可以排除”女女”。剩下三种情况中只有一种是”男男”。所以概率是⅓。具体分析我们稍后再说，直接看第二题，第二题更诡异。 第二题几乎与第一题一样： 你有一个邻居，他有两个小孩。至少有一个是男孩，且出生在星期二，问两个都是男孩的概率？你第一感觉肯定是，这“出生在星期二”关小孩性别啥事？这肯定是混淆条件，这题就应该跟前面一题一样，答案是⅓，但”正确”答案是13/27，也就是比1/2略小一点，但这个答案是个什么鬼？这个问题最有说服力的一种解法就是把两个小孩性别和出生在周几的组合全部列一遍，比如一个小孩可能是男或女，可能出生在周一到周日，一种有14种可能。两个小孩有14*14=196种可能。然后我把196种可能中，选出至少一个男孩出生在周二的情况，一共27种，然后里面两个都是男孩的情况确实是13种，所以答案是13/27。这种方法虽然笨，但无疑是最清晰明了，无可辩驳的。 我还看到有一位叫Gyfoscope的听友给我留了一段很专业的评论，也是从量子物理角度理解这问题，我是完全不懂，所以我只能全文念一下供大家后续研究。他是这样说的：“这个问题看似简单但其实还挺深刻的。是否能够有信息区分两个孩子竟引起答案如此大不同，这很像物理中的玻尔兹曼统计和玻色爱因斯坦统计之间的区别。在后者中，全同粒子之间完全不可分辨而又不遵守泡利不相容原理。这个“不可分辨”会引起粒子系统热学性质出现用经典物理无法解释的奇怪现象。比如大名鼎鼎的普朗克定律就是玻色爱因斯坦统计用于光子的一个特例。” 以上就是这位听友的精彩评论！