大家好，我是大老李。今天节目主题是“帕里斯-哈林顿”定理(Paris-Harrington)，这个定理是有关不可证明的命题的。说到不可证明的命题，大家第一感觉一定是连续统假设。那这个帕里斯哈-林顿定理为啥也重要呢？我们先要搞清楚什么是不可证明性。 第一季节目里我有一期节目是哥德尔不完备性原理。我们简单复习一下。哥德尔的第一不完备原理是说对任何包含皮亚诺算术且可以公理化的理论，这个理论是不完全的。不完全的意思就是这个系统内存在既不能证明也不能证伪的命题。连续统假设就是这样一个命题。 但这里面提到皮亚诺算术，这是什么东西呢？不久前的一期节目我们聊到过策梅洛-弗兰克尔的公理化集合论，简称ZFC系统。那套集合论其实是定义了一套有关集合的公理，使用这套公理，你可以知道哪些逻辑推理方法是可以用的。但是只有逻辑推理，没有推理的源头，还是推不出数学。 加强的有穷拉姆齐定理：

请你思考一下以下两道概率题： 1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩，问两个孩子都是男孩的概率是多少？ 2. 1. 你有一个邻居，他有两个孩子，其中一个是男孩且出生在星期二，问两个孩子都是男孩的概率是多少？ 请你自己思索下再搜答案。我会在不久之后的节目中跟大家探讨下这两道题。

大家好，我是大老李，今天的节目话题其实是来自“科学有故事”的主播汪诘老师。他最近在着手写一本有关数学的科普读物，他希望我解答一些他在写作中的遇到的难点问题，而我正好也在帮他解答的同时，也把这个解答作为节目介绍给大家。 这次他提出的一个问题就是“第二次数学危机”是如何解决的？先解释下什么是第二次数学危机，其实三次数学危机并没有太官方的说法，只是大家都这么说。这第一次就是有关无理数的出现，第二次是微积分的基础危机，具体说就是关于无穷小的，第三次是罗素悖论引发的。这三次危机多少都是与“无穷”这个概念有关的，今天我们着重看看第二次，第二次危机的重点就是关于“无穷小”这个概念 订阅“大老李聊数学公众号”

大家好，我是大老李，今天的话题来自去年年底有人的发表一篇论文，论文的标题就叫“蚱蜢问题”，The Grasshopper Problem. 这个论文提出了一个有趣的问题，说假设让你设计一个草坪的形状，草坪的总面积规定好了，比如是s，你有一个设计目标，就是假设有一个蚱蜢停留在你的草坪上一个随机位置，然后蚱蜢开始起跳，蚱蜢跳跃方向是随机的，但跳跃的距离是一个固定值，比如说d。然后你要设计你的草坪形状，使蚱蜢跳跃后停留在你的草坪上的概率最大。也就是你可以想象拿一只蚱蜢反复地随机放在你的草坪上某个位置，然后让它随便跳一次，距离是固定的。然后统计蚱蜢跳跃后仍然停留在你的草坪上的概率。你的目标就是在草坪总面积固定的情况下，让这个蚱蜢停留在你的草坪上的概率最大。另外要说明的是，你的草坪的形状并不需要是连续的，可以是分成几块的。 蚱蜢跳跃距离0-1时，草坪最佳形状的四种类型： 蚱蜢跳跃距离0.27时，计算机模拟草坪形状的变化过程中间图(经测试，目前不支持GIF动图:( 订阅大老李聊数学公众号：

要讲选择公理，就不得不先讲一下所谓数学的第三次危机，也就是由著名的罗素悖论引发的一场危机。简单回溯一下历史，那是在19世纪后半页，数学家们开始逐渐意识到数学的理论基础是不完善的，需要重新构建数学的基础，就像欧几里得几何一样。欧式几何，通过5条简短的公理就能推导出一整套数量庞大且堪称完美的几何定理和结论。所以数学家希望对代数学也建立这样一套公理系统，更重要的是逻辑推理的规则系统。而恰好康托对无穷集合有了很多研究，数学家发现用集合概念来建立数学基础也许是合适，因为集合的概念确实足够简单和平凡，而且看上去所有数学研究对象都可以用集合来描述出来，所以人们就希望用集合论来建立一套基础。 ...... 在研究连续统假设过程中，康托他发现他很需要一个称为“良序原理”的东西。优良的良，秩序的序，意思就是良好的秩序。康托发现，如果一个集合天然有一个“最小”元素，无论以何种方式定义大或小，只要能找到这个最小元素，那这个集合就可以被称为良序的。康托希望所有非空集合都是良序的，但是显然你没法把它作为公理，因为这个命题距离”显而易见”，”不证自明”，是有明显距离的。 策梅洛就开始设法帮助康托来证明良序原理，而他的方法就是提出了一条新的公理，这条公理可以推出良序原理，它被称为选择公理。选择公理有很多等价的表述形式，其中一种比较简单的表述，大致意思是，对任意数量的非空集合，总能从每个集合中选出一个元素来构新的集合。因为这里面涉及到从一个非空集合里选择一个元素的动作，所以这条公理被称为选择公理。这条公理看上去是不是天经地义的？如果是非空集合，里面至少有一个元素，那我自然可以选择出一个元素出来。而问题在于选择的方法。选择公理里并不要求选择的方法，而是默认可以选择，这时，如果涉及到无穷集合就会出现让人起疑的地方了。 订阅大老李聊数学公众号：

大家好，我是大老李，今天是“大老李聊数学”第一季的最后一集。我要休息一下也充电一下，预计在三月左右，以更好的状态给大家呈现更好的第二季。在这一年多的时间里，我制作了三十多集节目，订阅数突破了五千，也算小有成果。在此感谢所有支持过我，关注我的听众。您的每一次点赞，打赏，评论，都是对我的莫大鼓励。 今天借这期节目，准备回答某个听众问我的问题，就是学数学有什么用？特别的是他还提出了两个具体的问题，就是研究费马定理有什么用，黎曼假设有什么用？虽然如果你让我用最简单的回答的话，我觉得以上所有问题回答“好玩”两个字就够了。但是学数学意义远不止好玩二字，它当然还是有用的。 (“每周一题”将在公众号中更新，请扫描以下二维码关注) 关注“大老李聊数学”公众号

大家好，我是大老李，今天的节目还是接上期的话题，上期结束我提出了一个有关基因的问题，我们来回顾下： 假设我们知道单双眼皮是一对等位基因控制的，且双眼皮是显性基因，用字母A来表示。如果现在人群中两个大A的双眼皮的人比例是50%，一个大A一个小a，表现为双眼皮的人是20%的比例，剩下30%是单眼皮。问他们的子代里，各类基因组合比例如何？他们的孙代又会如何？ 基因计算“九宫格”： 哈代的信件： "我怀着忐忑的心情给与您唐突的讨论一个我并不擅长的领域里的问题。这是一个我认为非常简单的结论，而且看上去应该是生物学同行们熟悉的。但是普内特先生给我看了安迪尤尔先生的一些评论后，让我有了主意，使我觉得我发表一下我的发现还是值得的... 假设大A和小a是一对孟德尔等位基因，大A是显性，小a是隐形，且AA:Aa:aa=p:2q:r。假设生物群体足够大，且遵循完全随机的配对原则，也就是交配是完全随机且繁育能力均等的前提下，一些简单的数学乘法表可以告诉我们下一代的基因比例是(p+q)^2:2(p+q)(q+r):(q+r)^2, 或者记为 p1:2q1:r1。 现在的问题是何种条件下，下一代的比例与上一代相同？很容易看出此时需要q^2=pr。而因为显然q1^2=p1*r1。因此无论初始p,r为何值，该比例在第二代就不再改变。“ 坐标示意图，横轴代表两个等位基因的频率，纵轴代表三种基因最终稳定的频率： 每周一题：“太阳帽” vs “北极帽”（附上期答案） 本周题目：“太阳帽” vs “北极帽” [BN-WS216_MATH_P_20171221104253] 假想你有一把巨大的圆规，圆规目前设定半径为1000公里(就是圆规的“针”到“笔尖”的距离)。你用这把圆规在太阳上画了一个圆。然后在不改变半径的情况下，以北极为圆心，也画了一个圆。 当我们把太阳和地球当成标准球体时，请问这两个圆所包围的表面积（较小的部分，参看配图）哪个大？如果把画出的圆看作“帽子”的周长的话，就是在问“太阳帽”和“北极帽”哪个盖住的面积大？给出你的理由。 上期答案： 上周题目是： 张三给家人采购了若干圣诞礼物。他买完之后看了下账单，发现一个有趣的现象：所有的礼物的价格都是完全平方数（某自然数的平方），且将所有礼物的价格写下来之后，数字1到9恰好各出现1次。 请问，张三的账单总额最小可能是多少？他买了几件礼物？ 答案是855元，买了5件礼物： 1+9+25+36+784=855。答对的朋友很多（如有遗漏请见谅）：1106711411, 钱维vivi, 高兴就好，侯方东，黄亮，φ, Love Larisa, 王森。此题主要着眼点就是先选定一个含有7的完全平方数，再慢慢凑。唯一容易混淆的是，有很多朋友找到了这组解：9+81+324+576=990，算是一个小陷阱。 祝元旦愉快！ 收听“大老李聊数学”音频 关注“大老李聊数学”

大家好，我是大老李。这期继续讲有关博弈论的话题。上期结尾留下了一个思考题，我把题目简单再回顾下： 问题是这样，有个母亲，她有一对双胞胎儿子。儿子很调皮，她为了管理好她的儿子，想出了这么一个政策，她每天会准备20块钱，傍晚单独问她两个儿子，问他们有关另一个小孩在学校的表现。如果两人都说另一个表现的很好，那么他们会各得10块钱。如果其中一个报告了另一个的不好表现，则报告的可以得到15块钱，不报告的一分没有。如果两人都报告了对方的不好表现，那两人都只能得到5块钱。接下来有四个问题，让我们来一一解读。 本周题目：特殊价格的礼物 [gifts] 张三给家人采购了若干圣诞礼物。他买完之后看了下账单，发现一个有趣的现象：所有的礼物的价格都是完全平方数（某自然数的平方），且将所有礼物的价格写下来之后，数字1到9恰好各出现1次。 请问，张三的账单总额最小可能是多少？他买了几件礼物？ 上期答案： 上周题目是： 你在玩一个非常规的飞镖游戏，飞镖版是一个半径1英尺的靶子。你的飞镖本领不够好，你的飞镖只能随机且均匀的落在靶子上的任何位置（即落点均匀分布在靶子上），但不会脱靶。 飞镖游戏的规则是这样的，你连续投掷飞镖，直到你的第n个飞镖落点与之前的飞镖落点距离小于1英尺。这样你就出局了，你的得分是n-1。问题是（从易到难）： 可能的最高得分是多少？ 得分超过1分的概率是多少？（也就是第二个飞镖距离第一个飞镖大于1英尺的概率） 你的得分期望值是多少？ 第一个问题的答案是7分，形状就是下面这样： [maxscore.png] 第二个问题，超过1分的概率大约是0.41，精确来讲是[\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}]。计算方法如下： 首先考虑如下的图： [above1] 蓝色的圆表示靶子，绿色的点表示你的第一个飞镖的落点。绿色的圆就表示“坏”的第二镖的落点范围。如果第二镖落在绿色圆内，则表示你的飞镖离第一镖距离小于1英尺，或者完全脱靶（虽然你的技术好到不会让你脱靶）。 因此，你要获得1分以上的得分，你要计算你的第二镖能避开“坏”的落点的概率，且这个概率值与第一镖的落点位置相关。设你第一镖位置与靶心距离是x，则上图中两圆的重合部分的面积，称为A，有： [A=2\cos^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)-x\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}] 我们记得我们第一镖落在靶面位置上的概率是均匀的，则我们需要将x从0（第一镖命中靶心）到1（第一镖落在靶面边缘）进行积分。则最终的概率是： [1-\frac{1}{\pi}\int_0^1 (2x)(A)dx=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}] 该数值大约为41%。 对第三题，使用积分运算也有点过于复杂了。有人使用python代码进行模拟(http://t.cn/RHz66tb)，模拟了10万次掷飞镖的情况，得到了平均得分约为1.47。 另外我们知道我们恰好得1分的概率是1-41%=59%。计算显示恰好2分的概率大约是35%，恰好3分大约是6%，恰好4分大约0.1%，得5到7分的概率几乎可以忽略不计。有人制作了了如下柱状图，可以很直观了解： [freqplot.png] 恭喜Stones答对了，Magician大部分思路正确！祝圣诞快乐，下周再见！ 收听“大老李聊数学”音频 关注“大老李聊数学”

有这么一个猜拳游戏，猜拳的双方姑且叫他们“小单”和“小双”，单数和双数的单双。猜拳时只能出两种手势，就是出一个大拇指，表示一，或者出四个手指，表示四。然后把双发的手势数字加起来，单数时小单赢，双数时，小双赢。而且赢得分数就是双方手势数字之和。比如一个人出了1，另一个出了4，那么加起来是5，那小单赢了5分。如果两个人都出了1，那么加起来是2，是双数，那么小双赢了2分。现在的问题就是这个游戏是公平的游戏吗？ 该游戏的纳什均衡点在小单以13/20的概率出1，7/20的概率出4，如此的话，小单平均每局可赢0.45分。计算过程如下： 设小单出1的概率是p，小双出1的概率是q。则小单每局的得分期望值是： –2pq+5(1 –p)q+5p(1 –q)–8(1–p)(1–q)=13p+13q–20pq–8 现在的目标是无论q是多少，确定一个最佳的p值，则可将q作为变量，p作为常量，将上式化为： q(13–20p)–(8–13p) 则可注意到当13-20p=0时，上式将不依赖于q。则可解得p=13/20时，上式值为0.45。即为纳什均衡点时，小单的单局得分期望值。

大家好，上期我们讲了一个大数，叫葛立恒数。今天我们再接再厉，再讲一个超大数，叫TREE(3)。这里TREE就是英文里树木的那个单词TREE。TREE(3)其实就是一个函数，函数名称叫TREE，而函数自变量取值是3。 上期讲过，TREE(3)跟葛立恒数比的话，葛立恒数是属于忽略不计的。更为神奇的是，TREE(3)的定义比葛立恒数更简单，简单来说，它就是一个画“树”的游戏，树林的树。这里，这个“树”的概念，对计算机专业的听众来说再熟悉不过了，什么二叉树，查找树等等。如果你不是计算机专业的，也不要紧。你应该也看到过公司的组织架构图，或是某个人的家谱等等，也是用类似一棵树的结构展示的，这就是我们今天要谈的树的概念。我在节目介绍里也放了一个树的简单示意图。 TREE(3)游戏的开始的可能步数： 你可能关心TREE(3)这个有限的数到底有多大？不管你信不信，这其实是今天节目最难点了。上一期葛立恒数我用箭号表示法，大概还能说明下葛立恒数有多大，但是在TREE(3)面前，箭号表示法已经完全不管用了。但是我们还是可以参考下，上期我们说了葛立恒数可以用64重箭号表示法来表示，那TREE(3)如果要用多重箭号表示法表示，那需要的层数将远远大于葛立恒数。 (每周一题) 本周题目：保险箱大盗 [safe_Box.png] 你是个保险箱大盗，你想打开一个保险箱。这个保险箱有三个锁（称为1,2,3号锁），每个锁都独立工作。你已经得到了可以开锁的三把钥匙（称为A,B,C钥匙），但是你并不知道A,B,C对应哪把锁。 保险箱工作机制是这样的，箱子外有一个开锁按钮，当你按开锁按钮，每把锁会检查插入的钥匙。如果是插入的是正确的钥匙，且原先是锁定状态，这把锁就会打开；若原先是打开状态，这把锁就会关闭。如果插入是错误的钥匙，这把锁状态保持不变（不管之前是打开还是锁定状态）。只有三把锁状态都变成打开时，保险箱会自动开门。但只要有至少一个锁是关闭状态，整个保险箱维持关闭状态，而且你在任何时候都不知道某把锁是关闭还是打开的状态，你也不知道每次尝试开锁时，有几把锁发生了状态变化。 作为一个出色的的大盗，你想用最少的尝试次数打开保险箱，请问你最少要尝试多少次，才可以确保能够打开保险箱？ 提示：保险箱初始状态也未知，可能有某几锁开始时已经处于打开状态。 上期答案： 上周题目是： 张三和李四分一块饼吃，两个人都饿坏了，想多分点。他们约定这种分饼方法：张三先切一刀，分成两片；李四从两片中任选一片切一刀，剩下三片；张三从三片中任选一片，再切一刀，剩下四片。 然后张三得到最大和最小的一片，李四得到中间大小的两片。问张三采取什么样的切法，可以得到最大比例的饼？这个比例是多少？ 正确答案是张三可以到的3/5的饼。恭喜1106711411, Magician, 王森，今年不买表答对了！ 完整过程是张三先切成1/5和4/5，李四切4/5，变成1/5, 2/5, 2/5。张三再切2/5，变成1/5, 1/5, 1/5和2/5。这样张三可得3/5。 简单证明如下： 设张三将饼切成s和1-s两部分，且s<1/2。接下来有四种情形： 对s<=1/5，李四切完变成s, (1-s)/2和（1-s)/2。张三再切，变成s, (1-s)/4,(1-s)/4和(1-s)/2四部分。张三可得s+(1-s)/2，在s=1/5时，取得最大值3/5。 对1/5<=s<=1/3。李四切完变成s, (1-s)/2和（1-s)/2。张三再切，变成(1-s)/4,(1-s)/4和(1-s)/2四部分。张三可得3(1 – s)/4。当s=1/5时，取得最大值3/5。 对1/3<=s<=3/7。李四切完变成s, (1-s)/2和（1-s)/2。张三再切，变成(1-s)/4,(1-s)/4和(1-s)/2四部分。张三可得(1 + 3s)/4。当s=3/7时，取得最大值4/7。 对3/7<=s<=1/2。李四切下一块e大小的饼，变成e, s和1-s-e，其中e是任意小。张三任意切一下s大小的块，最后得到e+1-s-e=1-s。当s=3/7时，取得最大值4/7。 综上所述，张三的最佳策略是可以得到3/5大小的饼。下期再见！ 收听“大老李聊数学”音频 关注“大老李聊数学”

(文末有“每周一题”和上周答案) 大家好，我是大老李。今天的话题内容是有位听众提供的线索，让我聊聊有关葛立恒数和TREE(3)这两个大数字。这两个大数字确实很有趣，值得一说。当然我们今天不是讨论什么是最大的数字，而是最大而且有意义的数字。 记得小时候很多数学科普书的一开头都会提到一些数学历史中出现过的很大的数字，今天我们要跳过这些书上提到过得的很多数字，比如古戈尔数，围棋的变化数，最大的梅森素数，思古斯数，我们直接来到了葛立恒数。因为葛立恒数跟前面这些数字相比，你都不能用大多少倍来形容，而是那些数都属于忽略不计的那种级别。 （上图是葛立恒问题的3维示例，在立方体内部出现了一个红色的面，但如果我们将底面的一条边改成蓝色，就符合着色要求了） 下图是高德纳箭号表示法的示例： 下图是用高德纳箭号表示法表示葛立恒数的示例： 葛立恒数的最后500位： ... 02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521 43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780 38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092 91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080 25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560 43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887 17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509 27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508 94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380 03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387. 本周题目：怎样分饼吃的多？ 张三和李四分一块饼吃，两个人都饿坏了，想多分点。他们约定这种分饼方法：张三先切一刀，分成两片；李四从两片中任选一片切一刀，剩下三片；张三从三片中任选一片，再切一刀，剩下四片。 然后张三得到最大和最小的一片，李四得到中间大小的两片。问张三采取什么样的切法，可以得到最大比例的饼？这个比例是多少？ [pie.jpg] 上期答案： 上周题目是： 本期题目取自俄罗斯某数学竞赛题。某岛屿上有一群变色龙。现在有13只绿色的，15只蓝色的和17只红色变色龙。每当两只不同颜色的变色龙靠近时，它们都会变成第三种颜色。那么它们有可能变成同一种颜色吗？ 这期题目也比较简单，答案是不能。王森，1106711411答对了（如有遗漏请见谅）。证明方法也很简单，只要考虑变色龙变色后，考虑两种颜色的变色龙数量上的差值。你会发现，这个差值要么是0（两种同时减少1）要么是3（一种减少1，一种增加2）。而初识情况下，三种颜色的变色龙的差值分别是2，2，4。它们无法通过+3或-3的变化变为0，所以这些变色龙无法编程同一种颜色。下周再见！ 收听“大老李聊数学”音频 关注“大老李聊数学”

(文末有每周一题和上周答案) 今天跟大家聊一个近期的数学新闻。这个新闻是关于这样一个问题：什么样形状的地砖可以铺满地板不留缝隙？你可能马上能想到正三角形，正方形和正六边形都可以。那如果不是正多边形的呢？这个问题一下子有意思起来，这就牵涉到数学中所谓的密铺问题。密是密密麻麻的的密，铺是铺地板的铺。 任意三角形密铺： 任意四边形密铺： 六边形密铺： 15种五边形密铺(含4中特例)： 非周期性密铺--彭罗斯镶嵌： 每周一题 本周题目：能变成一样颜色吗？ 本期题目取自俄罗斯某数学竞赛题。某岛屿上有一群变色龙。现在有13只绿色的，15只蓝色的和17只红色变色龙。每当两只不同颜色的变色龙靠近时，它们都会变成第三种颜色。那么它们有可能变成同一种颜色吗？ [bianselong] 上期答案： 上周题目是： 如下图，有一个半径为2的小圆，沿半径为10的大圆逆时针运动，移动半个圆周后，沿一个半径为5的圆继续运动半个圆周。运动过程中，橙色圆圆心始终保持在其他圆上。为橙色圆扫过的面积多大，即图右阴影部分（包含橙色圆本身）？ 提示：无需高等数学，耐心将图形分解，分部计算。 [roeder-riddler-2-110917] 这期题目比较简单，答案是64pi。答对的朋友有(如有遗漏请见谅)：黄亮，今年不买表，李凯峰_3g，Matody 。 解法看这个图就明白了： [64pi.png] 另外还有两位朋友(567和吃喵个鱼)提出这种解法：大圆半周长＋小圆半周长，然后乘以小球半径，然后再加上小球的面积。你看，微积分思想就是这样孕育出来的。下周再见！ 收听“大老李聊数学”音频 关注“大老李聊数学”