很有趣，略带神秘感。要知道这个常数的来由，我们可以先从一个小故事开始。 有一只蚂蚁，在一根橡皮绳上的一端，橡皮绳初始长度为1m，然后蚂蚁开始爬，它的爬行速度是每秒1cm，但橡皮绳每1秒后，又会均匀拉伸1m长，也就是1秒后，绳子变2米，再一秒后，变3米长，等等。问你这只蚂蚁能否爬到橡皮绳的另一端？ 上图中，黄色部分位于1/x曲线以上的部分面积之和，即为欧拉-马斯刻若尼常数。 每周一题：阴影部分面积多大？ （附上周答案） 本周题目：阴影部分面积多大？ 如下图，有一个半径为2的小圆，沿半径为10的大圆逆时针运动，移动半个圆周后，沿一个半径为5的圆继续运动半个圆周。运动过程中，橙色圆圆心始终保持在其他圆上。为橙色圆扫过的面积多大，即图右阴影部分（包含橙色圆本身）？ 提示：无需高等数学，耐心将图形分解，分部计算。[roeder-riddler-2-110917] 上期答案： 上周题目是： 冯诺依曼曾经出过这么一道有趣的题目：你有一枚不均匀的硬币，它掷出去正反面向上的概率不等，你也不知道具体哪面向上的概率高，概率是多少。请问，你能否用这枚硬币产生50%的概率事件？或者说，你可以用这枚硬币公平的与别人打赌？ 要求：只能用投掷硬币的动作，只有一枚这样的硬币，不能使用其他工具。 提示：可以投掷不止一次，别想太复杂。 很多读者想出了这样的办法：两人轮流掷，看谁先掷出最多的正面或背面，类似于足球比赛的罚点球。此方法可以，但太过复杂。 冯诺依曼给出的方法是： 你可以这样打赌说：我们分别选择“正反”或“反正”，连掷两次这枚硬币，看先出现“正反”还是“反正”，先出现为胜者。如果结果是“正正”或“反反”则重掷。 以上方法不但简单明了，而且操作性也很强啊！下周再见！ 收听“大老李聊数学”音频 关注“大老李聊数学”

（文末有每周一题） 先说个“任意大”的例子，比如“有任意大的素数”，这句话的意思就是说你无论给出一个多大的整数，总会有一个比它更大的素数，因为素数有无限多个。类似还有任意小，比如正数可以是任意小，因为无论你给出怎样的一个正数，总有一个比它更小的正数，比如你就把它除以2。 但是“充分大”与“任意大”并不一样，你不能说“充分大”的整数都是素数，这肯定是不对的。“充分大”往往用来描述一个涉及到“无限”的数列或函数，来表达这个数列或函数在自变量取值达到一定程度之后，会持续拥有的性质，往往命题里还有“最终”这两个字。比如这样一个命题: “x充分大之后，函数f(x)的值最终大于0”。 本周题目：不均匀硬币如何公平？ 冯诺依曼曾经出过这么一道有趣的题目：你有一枚不均匀的硬币，它掷出去正反面向上的概率不等，你也不知道具体哪面向上的概率高，概率是多少。请问，你能否用这枚硬币产生50%的概率事件？或者说，你可以用这枚硬币公平的与别人打赌？ 要求：只能用投掷硬币的动作，只有一枚这样的硬币，不能使用其他工具。 提示：可以投掷不止一次，别想太复杂。 上期答案： 上周题目是： 你在参加一个电视游戏节目，节目中有一次摇大奖机会，但你要与另两名参与者竞争！游戏规则如下：有一个大转盘，转盘上有20格，每一格标注有5，10，15…，100。每人可以转动一次或两次转盘，你的目标是两次旋转后，转盘停止时（转盘会停在一个随机位置，每个位置机会均等），两个数字相加值尽可能接近100，但是一旦大于100则立即出局（最后若有玩家相等，则再转一次，数字高者胜）。最接近但不超过100的玩家可获得大奖！ 你现在抽签后是第一个转动转盘，请问你在第一次转动后，当转盘数字大于多少时，应该放弃第二次转动？假设后面的两个玩家都会采用最佳策略，且他们能看到之前的玩家的数字结果。 答案是你第一次转后，如果停留在70或更多的位置，你应该放弃转第二次！而65或更少时，你应该再转第二次。 (因排版问题，这里无法贴出具体推倒过程，请关注订阅号查看) 下周再见： 收听“大老李聊数学”音频 关注“大老李聊数学”

（文末有“每周一题”和上期答案） 一个叫弗兰克.本福特的物理学家在1938年发现身边的很多随处可见的一批数字的分布是有规律的，比如我们看看当初本福特在其发表的文章中举过的例子：335条河流的长度或区域的面积，这个区域猜想可大到国家，小到一个学校这种；3259条人口数据，这里也没有尺度，不过既然多达3000多条，那肯定也是有国家有城市有乡村不同大小区域的人口数据；104个物理数学常量，100份报纸上出现的数字等等等等。现在问你，以上这些不同类别的数字，尽管单位各不相同，我现在问你，只看数字，以1开头的数字比例有多少，以9开头的又有多少？可能你的第一感就是这两者应该都一样的，应该都是1/9，也就是11%左右。但是本福特发现，这些数字中是1开头的数字特别多，达到30%，然后逐步减少，到9开头的数字特别少，大概只有4.5%了，这是不是有点意外？而这个数字分布规律后来就被称为本福特定律。 本福特定律分布公式，10进制中以D开头的数字概率为： 计算结果为： 每周一题：幸运转盘转到多少停下来？（附上周答案） 本周题目：幸运转盘转到多少停下来？ (来源：fivethirtyeight.com) [30114548_vCC2] 你在参加一个电视游戏节目，节目中有一次摇大奖机会，但你要与另两名参与者竞争！游戏规则如下：有一个大转盘，转盘上有20格，每一格标注有5，10，15…，100。每人可以转动一次或两次转盘，你的目标是两次旋转后，转盘停止时（转盘会停在一个随机位置，每个位置机会均等），两个数字相加值尽可能接近100，但是一旦大于100则立即出局（最后若有玩家相等，则再转一次，数字高者胜）。最接近但不超过100的玩家可获得大奖！ 你现在抽签后是第一个转动转盘，请问你在第一次转动后，当转盘数字大于多少时，应该放弃第二次转动？假设后面的两个玩家都会采用最佳策略，且他们能看到之前的玩家的数字结果。 上期答案： 上周题目是： 你正在跟一个女孩约会，你想给她买一部手机作为礼物。你挑选了一部手机型号，不过你不知道女孩最喜欢哪种颜色的手机。手机可选颜色分别是红，黄，蓝，绿。但女孩并不想直接告诉你她喜欢的颜色，而是要考验你一下。女孩已经将四种颜色从最喜欢到最不喜欢在心里排好序。她允许你每次将任一个颜色序列向她询问，然后她会回答里面有几种颜色正好是她心目中的位置。比如，女孩心中的颜色序列是：红，黄，蓝，绿。如果你问：“蓝绿黄红”，则女孩回答“0”，你若问：“红绿蓝黄”，则女孩回答“2”。 请问，在最不走运的情况下，你至少需要问几次，可以完全确定女孩心中的颜色偏好排列？注：为明确起见，需要一直问到女孩回答“4”算结束，尽管实际上最后一次你可能是已经确定排列顺序了。 有读者回答24次，这是四种颜色全排列数量，那就太多了，女孩可能会觉得你太笨：）。正确答案是5次！比如，你一开始把颜色排成ABCD： 女孩回答0，则你交换AB，询问BACD 女孩回答0， 则知道AB不可能是第1第2，则询问CDBA 女孩回答2，则交换CD，询问DCBA 女孩回答0, 则CD, AB分别交换，询问CDAB。（根据规则，必须再询问一次，虽然你知道这肯定是正确答案） 女孩肯定回答4！ 看这个分支图就可以应对所有情况了： [beier.jpeg] 恭喜Magician答对了，下周再见！ 订阅“大老李聊数学”订阅号：

(文末有每周一题和上期答案) 大家好，我是大老李，今天这期我准备开一个不定期的系列节目叫“数学用语趣谈“。为什么叫数学用语而不是数学术语呢，因为我想聊的是那些在日常生活中已经普遍使用的词，然后数学家将其借用到数学里使用的词汇，而不是为了数学而专门创造的词。比如今天我们要讲的第一个词：“几乎”！ 怎么样，你能想出来数学在哪里能用到“几乎”，英文叫”Almost”这个词吗？是不是“几乎”就要想起来了？我来提醒你一下，你可能听过这么一个命题，叫“实数几乎都是无理数”。是不是粗听上去有点奇怪，有理数那么多，凭什么说实数几乎都是无理数，有理数表示不服。但如果你知道无穷集基数概念，那你不会感到太惊讶，因为你会知道有理数是可数集，也就是它的数量与自然数一样的，但是实数就不是可数集，这就说明无理数在其中起到了决定性的作用。 康托函数图像： 本周题目：最少几次可以知道女孩的心思？ (来源：fivethirtyeight.com) [cellphone.png] 你正在跟一个女孩约会，你想给她买一部手机作为礼物。你挑选了一部手机型号，不过你不知道女孩最喜欢哪种颜色的手机。手机可选颜色分别是红，黄，蓝，绿。但女孩并不想直接告诉你她喜欢的颜色，而是要考验你一下。女孩已经将四种颜色从最喜欢到最不喜欢在心里排好序。她允许你每次将任一个颜色序列向她询问，然后她会回答里面有几种颜色正好是她心目中的位置。比如，女孩心中的颜色序列是：红，黄，蓝，绿。如果你问：“蓝绿黄红”，则女孩回答“0”，你若问：“红绿蓝黄”，则女孩回答“2”。 请问，在最不走运的情况下，你至少需要问几次，可以完全确定女孩心中的颜色偏好排列？注：为明确起见，需要一直问到女孩回答“4”算结束，尽管实际上最后一次你可能是已经确定排列顺序了。 上周答案 上周问题是（来源：fivethirtyeight.com）： 某农场主有一块正方形的田地，边长恰好是1公里。他有三个女儿，某天他觉得自己老了，想把这块正方形田地均分给三个女儿。请问，他最少需要修多少长的篱笆，可以把他的正方形土地平分成三份。 规则提示：分割出来的田地只需面积相等，不需要用篱笆包围起来。另外篱笆也不必须是直线的。 很可惜没有人答出最佳方案。 很多人找到了这种方案：[roeder-riddler-2.png] 此时，篱笆的总长度是5/3约等于1.67公里。但是篱笆并不必须是平行与边界的，可以是斜的！如果我们用这种方案： [roeder-riddler-3.png] 如果取x和y为未知数，由三块面积相等，可以求得[y = 2/3 - x/2]，进一步可求得总篱笆长度是： [L=(2/3-x/2)+2\sqrt{x^2+1/4}] 问题转变为求以x为变量，上述函数的最小值。可以求得（终于觉得用导数求极限有用了…）[x = 1/(2\sqrt{15})]时L有最小值约1.635公里。恭喜“再见卡农”找到了这个方案！但篱笆也不必须是直来直去的！如果考虑如下方案： [roeder-riddler-4.png] 可以证明，当两段短篱笆是圆心角30°的圆弧是，篱笆最短。此时z的长度约为0.576公里，总篱笆长度是1.623公里！计算方法较为繁琐，恕从略（其实大老李也不会）。 下周再见！ 订阅"大老李聊数学"公众号:

（文末有"每周一题"及上周答案） 在一个正方形的四个顶点上各有一只蜗牛，每只蜗牛都按逆时针方向看着另一只蜗牛。然后某一时刻，一声立下，所有蜗牛开始以相同的速度匀速率朝自己看到的那只蜗牛爬去，并且爬的过程中，能随时调整方向，始终保持朝目标爬行。那你可以想见它们最终会在正方形的中央撞在一起。现在已知正方形边长和蜗牛的爬行速度，请问你最终它们花了多久会撞在一起，撞在一起时又爬了多远？ 它们所走的路线就是对数螺线！ 雅各布伯努利的墓碑： 一条对数螺线： 等角螺线长度计算： 设等角螺线在PT上滚动，则O点会落在T点上，O点的运动路线就是OT。 自然界的对数螺线例子： 鹦鹉螺： 漩涡星系： 本周题目：最少要修多少篱笆？ (来源：fivethirtyeight.com) [square] 某农场主有一块正方形的田地，边长恰好是1公里。他有三个女儿，某天他觉得自己老了，想把这块正方形田地均分给三个女儿。请问，他最少需要修多少长的篱笆，可以把他的正方形土地平分成三份。 规则提示：分割出来的田地只需面积相等，不需要用篱笆包围起来。另外篱笆也不必须是直线的。 上周答案 上周问题是（来源：blogs.wsj.com）： 桌上有5枚看上去一模一样的硬币，其中一枚是假币。假币的重量与真币不同，可能重，也可能比真币轻。你口袋里另外有一枚真币。现在请你用一个两托盘天平，只称两次，你可以把假币找出来吗？ 恭喜：”再见卡农”, “Magician”和”上善若水”答对了。 其实方法不唯一，不过以下方法比较简洁： 设5枚硬币分别标识为A,B,C,D,E，口袋里的真币为F。第一次称B+F与C+E；第二次称D+F与B+E。 若两次都平衡，则A为假币。 若两次都不平衡，且不平衡方向相反，则B为假币。 若两次都不平衡，且不平衡方向相同，则E为假币。 若第一次平衡，第二次不平衡，则D为假币。 若第一次不平衡，第二次平衡，则C为假币。 下周再见！ 订阅“大老李聊数学”订阅号：

(文末有“每周一题”及上周答案) 大家好，我是大老李。前不久我们聊到了连续统问题，让我想到了哥德尔著名的两个不完备定理。很多人知道哥德尔的这个不完备定理，但我觉得你可能并不了解哥德尔不完备定理是如何证明的，所以我今天准备给大家简单聊聊他的证明思路。 但讲之前，我还是不得不赘述下哥德尔的这个定理，其实准确来说，哥德尔不完备定理是两条。其中的第一条是说，任何一个足够复杂的公理系统，如果它是相容的，那么这个公理系统内部就一定存在不能被证明的命题。相容的意思就是它内部不能从公理推出互相矛盾的结论。这大概就是哥德尔的两条不完备定理中，比较为人熟知的一个。这里说的足够复杂的公理系统，其实要求并不高，简单来说只要求能定义自然数和进行加法乘法就可以了，等下你也能看到如此要求的原因。 哥德尔还有一个不太著名的第二不完备定理。这个定理是说任何一个足够复杂的公理系统，它都不能证明自己是相容的，也就是它不能证明自己是不会推导出互相矛盾的命题的。你觉得这是不是很有点让人郁闷的结论。而它的一个等价形式读出来就更令人有恐惧感：就是如果一个足够复杂的，而且足够强大的公理系统能证明自己是相容的，则它一定是不相容的。这句话听上去很拗口，不过你可以慢慢体会下。 本周问题： 这周换个简单点的逻辑题： 桌上有5枚看上去一模一样的硬币，其中一枚是假币。假币的重量与真币不同，可能重，也可能比真币轻。你口袋里另外有一枚真币。现在请你用一个两托盘天平，只称两次，你可以把假币找出来吗？ [coin_weight] 上周答案： 上周问题是： 本周题目是一道几何题，请问如下的三角形里，可以放入的最大的矩形面积有多大？ [triangle_puzzel] 正确答案是18，恭喜“再见卡农”和“Magician”答对。 本题可以先从一般的三角形开始考虑，我们可以证明，对一般的三角形，其内部最大的内接矩形，面积为三角形大小的一半。 考虑如下三角形，边长a<=b<=c。取两条较短边的中点向最长边作垂线，再连接这两个中点可得一个矩形。然后从矩形两顶点，向相对长边的中点，作两条虚线。如果你假想这个三角形是画在纸上，然后沿这两条虚线折叠，你会发现三角形能完全遮盖矩形，且三角形自身也被全部覆盖。如果是任何其他矩形，用同样方法折叠后，你会发现三角形不但可以覆盖整个矩形，三角形自身会产生重叠，或者有部分没有被覆盖，或者两者都有。这显示整个矩形不是最大的。 [Triangle-Boundary] 而这个最大的矩形显然是三角形面积一半。已知三角形边长，可以用海伦公式求解面积，得原三角形面积为36，所以内部最大矩形面积为18。 欢迎订阅公众号“大老李聊数学”，本期节目讲稿将于公众号中推送：

上一期我讲了有两个天才捣蛋学生的故事后，得到了一些很好的反响。特别是得到汪洁老师给我评论说我的故事编的很好，我非常高兴。但也有听众表示还是听不出我的故事中的精妙之处，我后来想了下，发现我的故事收尾可能太快了。所以今天我想给我上一期的故事再续个下篇。如果你没有听过我上期的节目，你赶紧暂停，先听上一期再返回来听。如果你听过了，那且听我把故事继续下去。 每周一题 （与微信订阅号“大老李聊数学”同步更新） 本周题目是一道几何题，请问如下的三角形里，可以放入的最大的矩形面积有多大？ [triangle_puzzel] 提示：可以先考虑一般化的问题，任意三角型内，可以放入的最大矩形面积是多少？ 上周答案： 上周题目： 你有一真一假两枚硬币，外观完全一样，重量也一样。真币投掷出去正面向上的概率为50%，假币为60%。请问你要经过至少多少次投掷，才能以95%概率，确定哪一枚是假币？ 为便于理解问题，请参考以下例子：如果假币总是正面向上，那么你投掷一次，如果一正一反，则你必知正面向上为假币，如果两枚都是正，则你只能随便猜一枚。因此，你总体上能找出假币的概率是1/2+1/4=3/4。 上周问题的答案是143次！ 这道题的实质就是至少要掷多少次，才能使假币正面向上的次数以95%的概率多于真币，此时，你只要猜正面向上的那枚硬币即可。掷硬币的概率符合二项式分布。对n次投掷，假币k次向上，真币j次向上的概率为： [\binom{n}{k}0.6^k(1-0.6)^{n-k}\binom{n}{j}0.5^j(1-0.5)^{n-j}] [=(0.5)^n\binom{n}{k}\binom{n}{j}(0.6)^k(0.4)^{n-k}] 则对n次投掷，满足k<=n且k>j的概率为： [=(0.5)^n\sum_{k\leqslant n}\sum_{j<k} \binom{n}{k}\binom{n}{j}(0.6)^k(0.4)^{n-k}] 可以算得，当n=143时，上式约等于95.01%。 有意思的是有人就这个问题，进行了一次小的调查，并发表了一篇经济学论文。此人就此问题向许多财经学家询问，让他们不用计算，只估计一下答案。结果绝大多数人估计的答案远小于143，中位数是40。 下图横轴为一枚假币正面向上概率，纵轴为至少需要掷多少次才能95%的概率找出假币： [coindetection.png] 欢迎订阅大老李聊数学：

（上图为探测器夹角和量子自旋相关性的图示。对于自旋的量子相关性（假定100%侦测效率），局域隐变数理论的预测以实线显示，量子力学预测以虚线显示。） 贝尔定理意味着，阿尔伯特·爱因斯坦所主张的定域性原理，其预测不符合量子力学理论。由于很多实验的结果与量子力学理论的预测一致，显示出的量子关联远强过定域隐变数理论所能够解释，所以，物理学者拒绝接受定域实在论对于这些实验结果的解释。陷入找不到满意解答的窘境，物理学者只能无可奈何地勉强承认这是一种非因果关系的超光速效应。 听大老李用几个简单的故事解释贝尔不等式： "话说大约在100年前，有一所很牛的大学，学校的物理系聘请来了阿尔伯特*爱因斯塔和尼尔斯*玻尔来做教授，这个物理系牛的不能再牛。当然两位教授也很严格，他们搞了这么个制度，每个学生在每天早上9点必须到某个教室集合，然后会领到一张试卷。试卷上只有一道题，而且是是非题，答案只有对或错两种选择......"

在组合数学上，拉姆齐（Ramsey）定理，又称拉姆齐二染色定理，是要解决以下的问题：要找这样一个最小的数n，使得n个人中必定有k个人相识或k个人互不相识。 这个定理以弗兰克.拉姆齐命名，1930年他在论文On a Problem in Formal Logic（《形式逻辑上的一个问题》）证明了R(3,3)=6。 拉姆齐数R(5)截止到今年三月前，我们所知道的就是介于43到49之间。这个下限43是1989年证明的。上限49是1997年证明。然后就是20年内毫无进展。直到今年三月底，两位澳大利亚国立大学的数学家将上限从49减低了1，到48，其中一位作者还是当年1997年证明上限是49的。你看，为了缩小1，数学家化了整整20年时间。 请订阅公众号，并回复“拉姆齐”三个字取得更多信息：

关于无限集，可能好多听众也了解过一些，比如你可能听过这个比喻，就是如果一个旅馆有无穷多个房间，而且住满了，那么又来了一个旅客，怎么让他入住呢。如果是有限个房间的旅馆，那当然是没办法了，但是有无穷多个房间的旅馆的话，没有问题，老板胸有成竹，他一声令下，请所有住客注意，如果你现在是第n号房间，请你搬到第n+1号房间。然后新来的旅客就顺利入住了第1号房间。然后忽然又来了无穷多个旅客了，怎么办呢。老板还是不慌不忙，发了一道新指令，请所有第n号房间的住客搬到第2n号房间，然后瞬间就发现所有奇数号房间都腾出来了，新来的无穷多个旅客就顺利入住了。 无限集世界很奇妙，连续统假设更烧脑。 p与t的定义：

(此前一次录音质量太差，故重录，因此称为“修复版”) 本节目开通了微信公众号，欢迎订阅： 请你在一张纸上随便画5个点，里面不要有三点共线的情况，其他都随便画，然后请你尝试在这5个点里随便找4个点连接起来，唯一要求是构成一个凸四边形。然后你很快会发现，是不是随便画5个点，都能找出这样的四个点来构成凸四边形。但是很显然，只有四个点的话，不一定能构成凸四边形。那我现在问你，你能否证明构成凸四边形是否至少就需要5个点呢？如果要构成凸五边形，那至少需要多少个点呢？如要凸11边型又如何呢？这个一般的，平面上至少需要多少个点来构成凸n边型的问题，就是所谓幸福结局问题。 1933年，厄多斯和塞凯赖什证明了g(n)的上下界： 2016年，有人证明： 凸5边型的情况和一个反例：

黎曼假设顾名思义是德国数学家黎曼, 在1859年提出的。这个命题是关于一个所谓黎曼zeta函数的零点的位置问题。 zeta函数的级数形式： zeta函数积分形式： Universality分布与随机（均匀）分布和周期性分布的比较： 1999年，两位物理学家Michael Berry和Jonathan Keating在早期的希尔伯特-波利亚猜想的基础上，提出这样一个猜想：会存在一个这样一个量子系统（所谓量子系统简单来说就是含有位置和动量参数的一个系统，并且与海森堡不确定原理相关的这样一个量子系统），而且这个量子系统里的能级都完美对应黎曼Zeta函数的非平凡0点。也就是如果第n个能级记作En，那么½+i*En就要等于0。如果能构建出这一量子系统，则等于证明了黎曼假设。