E153.股神的牌局：复利公式 + 凯利公式

🎤 本期嘉宾
徐倬迅 | 公众号「徐倬迅的投资日记」，望岳投资 投资经理（偏量化方向）
⏯️ 本期简介
我一直希望面基能够多元化一些，无论是在选题还是嘉宾层面，因此，无论是价值的，成长的，交易的，套利的，量化的，配置的，都要聊聊。因为我坚信审美是看过足够的样本量之后的自然而然的产物。
投资和交易，以及他们内部的不同流派，本应无分优劣对错，只有是否适合自己，最终目标都是为了赚钱，只不过方法不同而已，谁也不比谁高尚正派。
但，形成审美的过程必然是充满积累，怀疑，实践，验证，修正的。
一开始看山是山，看到什么，就相信什么。
接着又发现自己其实什么都没真信过， 你会拆解、怀疑、穿透，看山不只是山——聪明和善良不意味着回报的必然，价格和价值常常不是一回事，规则背后还有规则，叙事背后还有利益，方法背后还有代价和逆风期。
最后看过复杂，消化复杂，确定了自己适合、愿意且能走的山中小径，看山还是山。
今天这期节目要聊两个公式，第一公式让投资中的复杂熵减，把各个流派装进去，它如此定义复利：
Log growth复利增长 =Edge优势 * Position仓位 * Frequency频率 * Time遍历性
✔️Edge优势：伴随性格、经历、学习与实践，每个人都能在一组或多组事件上建立自己的优势，这种优势体现为胜率与赔率的不同组合，它们的共性是最终的数学期望值为正。
各种流派，各种方法，各种策略，本质上都是在挑选自己能建立优势的事件。
✔️Position仓位：发现优势后，如何参与也是容易被忽视的问题。因为对的优势匹配错误的仓位，最后也很容易变成错误的结果。关于如何下注，就是本期节目要讨论的第二个话题——凯利公式。
f∗=p−b/q​
其实凯利公式和DCF公式有点像，它们都很难在事前给出精确的计算，但可以给出一些模糊的原则性的指引。
✔️Frequency频率：优势对应的是不同事件，而不同事件必然有着不同的出现频率，它决定了你的出手或者说上桌次数。
✔️Time遍历性：时间，或者优势的有效期，它决定了遍历性。只有经过遍历性的考验，才能确保不出局，在无限游戏里逼近长期。
总结一下：
复利增长公式在表达的就是寻找优势，计算期望值，控制仓位，重复下注。
而我们的故事，要从一位股神的牌局说起...
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🎯 时间轴
00:21 看山是山，看山不是山，看山还是山
03:45 赌神的牌局
13:05 遇到了不适合参与的游戏，那就卖铲子
14:38 华尔街不就是最大的赌场嘛
16:03 寻找优势Edge⭐️
19:54 从优势的视角去解释一些投资流派
23:01 我从不预设自己在概率上能有多高，很难超过50%
28:05 交易看似只有买卖，但它们背后的潜台词是...
30:56 去看交割单！⭐️
34:47 做好迅速改主意的准备
36:45 如何定义区间？
40:15 价值投资还是更适合美股
43:44 不同投资流派本质上就是对优势的寻找以及定义
44:24 普通投资者投资指数基金最大的优势，就是承认自己没有优势
47:43 换个角度解释「低估」
52:50 Position仓位：凯利公式同时追求两件事：不能出局+ log growth长期最大化
57:09 凯利公式的直接结果：合理仓位比大部人想象的要低
1:02:53 Frequency频率：交易机会是不缺的
1:06:23 加注意味着对概率和赔率都提出了更严格的要求
1:13:04 关于加注的例子：以中证白酒指数为例
1:19:51 如何定义优势是复利公式的源头
1:21:34 《毛选》里的趋势交易思维
1:22:54 顺利的交易，很快就会对起来
1:26:42 凯利公式应该内化为一种纪律：2%风险管理常数
📁 本期内容相关资料
* 《凯利公式介绍》
* 《用凯利公式理解仓位管理》
* 《运动战和趋势交易》
* 约翰·凯利的故事
约翰·凯利1923年出生于美国德克萨斯州，在二战时是一名海军飞行员。退役后，进入得克萨斯州奥斯汀分校念物理学。1953年获得物理学博士学位，毕业后去了著名的贝尔实验室工作。在贝尔实验室中，他认识了好友兼同事，著名信息论创始人的克劳德·香农。凯利也被同事认为是贝尔实验室中第二聪明的人，第一次聪明的是香农。凯利公式最初为他的同僚克劳德·艾尔伍德·夏农于长途电话线杂讯上的研究所建立。凯利解决了香农的通信理论要如何应用于一名拥有内线消息的赌徒在赌马时的问题。赌徒希望决定最佳的赌注金额，而他的内幕消息不需完美（无杂讯），即可让他拥有有用的优势。研究得出的结论表面上看起来是奇怪的，就是实际上会对每匹马都进行押注，保证自身不破产，因为内幕消息本身可能并不准确。
1956年凯利受到香农信息论的启发，于是写了一篇《信息论与赌博》的论文，但是这个题目不好发表，且贝尔实验室的高管担心媒体会抓住这篇文章不放，于是最后论文名字改成了《对信息传输速率的新解释》的论文。凯利证明了香农在通讯噪音干扰理论中使用的数学模型同样适用于投资者对于风险和收益的管理。如果信息传输中将噪音干扰引起的错误降低到零，那么，同理，投资者在追求最大复利收益的同时也可以把破产的风险降低到零。香农提出的这种两全其美的理论同样可以应用于赌博当中。
其实该论文当时并没有引起太大轰动，几年后凯利突发脑溢血而亡，享年41岁，他至死也没能被大众熟知。
* 爱德华·索普的故事
凯利公式的开始应用并发扬光大实际上是爱德华.索普（Edward Thorp）完成的。
爱德华·索普当时是MIT的青年教授，原先就在研究21点这个游戏，并研究出了《21点的常胜策略》的论文，他准备投稿到《美国科学院院报》上。但是当时这个杂志也是有VIP制度的，它只接受美国科学院院士的投稿。但索普当时其实只认识一个有资格的院士，也是麻省理工学院唯一的数学学科院士——克劳德·艾尔伍德·香农。香农对索普的论文大为赞赏，并推荐索普去看凯利之前写的论文。因为香农和索普发现，这个21点策略本身是有利的，但如果通过凯利公式下注，这个策略的优势发挥到最大。索普利用工作之余，通过数个月的艰苦演算，写了一篇题为《“二十一点”优选策略》的数学论文。1962年，索普拿着这个策略从赌场上赚了几万美元，成功测试了这个策略，然后上了赌场黑名单。后面他庆幸还好没赚太多钱，因为当时他去的内华达州赌场是美国黑帮管理的，要是赚了太多赌场的钱很难全身而退。后面索普写了一本书《击败庄家（BEAT THE
DEALER）》，这本书里面含有大量关于凯利公式的注解，索普也依靠这本书一夜之间火了。策略本身是确定可以赚钱的，但实操中遇到了很多困难，包括被赌场禁赌、不断重新洗牌和作弊，即使后面索普跟一位擅长识破作弊的赌客联手，实际上赚钱还是较为困难的。书写出来直接赚版税对于索普来说效率可能更高一些，事实上《击败庄家》这本书最后是上了1964年的纽约时报畅销书排行榜，索普最后赚了很多版税。
本质上，这个策略回应的是，当游戏出现变化的情况下，针对不同情况和落在哪个平行宇宙中，就进行不同分布的下注。这本质上是一种细化了的策略，当牌面变化时才有可能获得优势，当牌面出现变化时，通过凯利公式把微弱的优势切切实实拿到手。而投资上也是这个逻辑，我们会根据落到哪个平行宇宙，按照不同平行宇宙中我们的胜率和赔率调整我们的下注。
意义上，赌博的策略和投资的策略是较为接近的，就是世界变化后，留下各个平行宇宙的可能性和方向都已经出来了，对应调整下注以适应更好的平行宇宙。
后来索普和香农合作，搞了世界上第一台可穿戴微型计算机用来计算轮盘赌的概率，看得出来他们确实很喜欢把数学用于赌博，索普自传中回忆自己每周要花费20小时时间跟香农研究轮盘赌。该可穿戴计算机是1960年至1961年间索普与克劳德·香农共同开发的。它依赖于一对操作员，其中一个操作员会观察轮盘并用脚趾输入轮盘的节奏，另一个操作员则通过隐藏的耳机接收以音乐音调形式的信息。通过押注轮盘上相邻的数字组，他们可以获得足够的优势来获利。1961年6月，该装置的最终运行版本在香农位于地下室的家庭实验室中进行了测试，且确实通过计算获得了轻微的优势。但他们没有依靠这个赚到钱，因为这个计算机只适用于具备一定偏心的轮盘，且他们发现庄家有时候会通过出干的方式再次偷偷转动轮盘，他们一开始计算轮盘的落点并不适用，于是放弃了这个方案。
1964年4月1日，为了《击败专家》这本书21点协会直接把游戏规则改了，这也是21点将有史以来第一次修改游戏规则。此后分牌和双注都会受到限制，而整副牌都会在几轮赌局之后重新洗牌。也就是索普书中关于21点的策略直接就失效了。但伴随着规则修改，愿意玩21点的人大幅度下降，后面赌场不得不改回原规则。但后面赌场引入了一种新的洗牌机器（也叫做蜗牛机），可以容纳4、6、8副牌一起洗，提高了算牌难度。
1965年，索普就将研究的兴趣将目标转向股票权证，设计出第一个精确的量化投资策略——科学股票市场系统，这个系统可以给可转换债券定价。之后他们又将研究成果写成一本书《战胜市场：一个科学的股票市场系统》。后面索普发现自己实际上更先一步发现BS期权定价公式，但他当时没有发表论文只是自己在用（毕竟是用来赚钱的工具没必要发表），而提出模型并严格证明的舒尔斯和默顿因此在1997年获得诺贝尔经济学奖。
自20世纪60年代末以来，索普利用他在股票市场上的概率和统计学知识，发现并利用了证券市场中的大量定价异常，并因此获得了巨额财富。
21点的故事非常精彩，但这只是开始。索普意识到，华尔街才是最大的赌场。他发现利用凯利公式和概率计算能够完美的在金融市场上赚到钱。索普后来从麻省理工辞职，于1969年创立了人类历史上第一只量化对冲基金，主要做衍生品统计套利，拉开了量化投资的序幕。索普也是世界上最大的量化基金城堡Citadel的天使投资人。
索普的第一只对冲基金是普林斯顿/纽波特合伙公司，经营时间为1969年至1989年，以市场中性衍生品对冲为基础。他的第二只对冲基金名为Ridgeline Partners，经营时间为1994年8月至2002年9月，以统计套利为基础。这只对冲基金关闭的主要原因是自2002年以来统计套利策略的回报率一直很低。
1998年5月，索普报告称，他的个人投资在28.5年内平均年化回报率为20%。
2002年，索普把对冲基金关掉了转为家族信托，后面交给他儿子在管。
* 下图中蓝色线代表按照凯利下注的财富增长曲线、绿色代表按照原始下注方式财富增长曲线、红色代表按照2.5倍凯利公式仓位得到的财富曲线。
可以看到凯利公式下注代表的蓝线是增速最快的但波动比原始版本大，原始版本的下注增长也不慢，但如果是2.5倍凯利公式反而是负增长的。
即使在一个期望为正的游戏里面，如果没有严格遵守凯利公式的仓位管理，可能最终反而是亏钱的。也就是我们说的过犹不及。如果超过凯利仓位过多，最终得到的反而是非常差的结果。值得注意的是，一开始2.5倍凯利公式的收益率是比凯利公式收益率更高的，但在后面大数定律才体现出来，收益率开始断档滑坡，可能是个别几次亏了大钱的结果。
* 凯利公式存在一个危险的错误，它通常高估仓位。
如下图所示，横轴的Kelly倍数如果从1开始向左移动，一开始的回报率下降并不会很快，即使不小心左移了太多、顶多也就是不赚钱；
而如果右移一旦超过2，就会开始损失、而不是回报率高低的问题，直到本金归零，是负向的非对称。
再叠加上现实世界概率不确定，因而宁可在横轴上左移两步，也不要右移一步，所以才有半凯利的粗略近似策略。
所以少下注某种意义上比多下注好，因为大多数情况下凯利值都会被高估，人们会过于乐观，过犹不及的现象在凯利公式上很明显。
（以上内容来自徐倬迅）
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