这份材料节选自 Lex Fridman YouTube 频道上传的视频“Terence Tao: Hardest Problems in Mathematics, Physics & the Future of AI | Lex Fridman Podcast #472”的文字记录。

特伦斯·陶（Terence Tao），中文名陶哲轩，被誉为“数学界的莫扎特”和史上最伟大的数学家之一。他以其在数学和物理学领域惊人的广度与深度而闻名。

1. 攻克数学难题的路径

陶哲轩认为，真正有趣的难题介于“相对容易”与“绝望”之间。他以“卡凯亚问题”（涉及针旋转最小面积）为例，指出其与偏微分方程、数论和几何的深层联系。在解决像流体动力学中的“纳维-斯托克斯方程”（Navier-Stokes equation）这样的千年大奖问题时，陶教授指出其难点在于可能存在的“奇点”（如流速无限大），并将其与“麦克斯韦妖”的物理概念类比。他曾通过“改变物理定律”的方式，在简化版方程中人为制造“奇点”，从而排除某些证明方法。陶教授甚至设想，如果纳维-斯托克斯方程能支持计算，理论上可构建一个能自我复制和缩小的“流体冯·诺依曼机器”来导致奇点。他的核心问题解决策略是“战略性作弊”——通过关闭大部分困难来简化问题，逐个击破，再整合解决方案。他强调数学之美在于不同概念间的连接与统一，如欧拉恒等式连接指数增长与旋转。

2. 数学、物理与工程的异同

陶哲轩将“科学”定义为收集观察结果并提出模型；“数学”专注于模型本身，从公理推导结论；而“工程学”则以结果为导向。他强调物理学中理论与实验的不可或缺的互动关系。

3. AI对数学未来的影响

陶教授认为AI将对数学产生深远影响：

• 计算机辅助证明（Lean）：Lean 是一种编程语言，能生成带有完整步骤的、100% 正确的数学证明“证书”。这使得数学证明更加严谨，尤其在修改参数时，能迅速定位错误。Lean 也促进了全球范围内的“原子级”协作，实现了“无信任数学”。陶教授的“方程理论”项目利用 Lean 解决了 2200 万个代数定律问题，这是人类过去无法企及的规模。


• AI的局限性：尽管 DeepMind 的 AlphaProof 在高中数学奥林匹克问题上取得了进展，但当前的AI在处理更复杂的、需要多步骤的证明时仍面临挑战，因其容易犯错且难以识别“错误方向”。AI生成的证明可能“表面上完美无缺”，但包含“愚蠢的”细微错误，缺乏人类的“数学嗅觉”。


• 未来展望：陶教授预测，到2026年，AI将在研究级别的数学协作中发挥作用，包括协助计算、验证，甚至可能生成新思想和猜想。他认为，当用形式化语言编写证明比手写更快时，将发生“相变”。AI在文献综述方面也展现出潜力，尽管目前仍存在“幻觉”问题。

4. 著名的未解数学难题

• 黎曼假设：关于素数乘法分布的猜想，认为素数在乘法意义上表现得非常随机。陶教授认为目前没有明确的解决策略，需要其他数学领域的突破。


• 孪生素数猜想：关于是否存在无限多相差为2的素数对。它难以解决，因为素数非常“稀疏”，且不像算术级数那样“坚不可摧”。


• Collatz猜想：一个看似简单的迭代过程，猜想所有数字最终都会回到1。它被比作“冰雹序列”或“布朗运动”，统计学上大多数数字会下降，但存在“异常值”的可能性使得全面证明异常困难。


• P对NP问题：计算机科学领域的“元问题”，对许多其他问题有连锁反应。目前证据倾向于P不等于NP。

5. 数学家生涯与文化

陶教授强调，数学研究需要多样化的思维方式，他将自己归类为“狐狸”型数学家（寻找不同领域间的联系），与“刺猬”型数学家（专注于一个领域深入研究）互补。他指出，数学界的传统度量标准（如论文数量）正受到新指标的挑战。他以证明庞加莱猜想后拒绝奖项的格里戈里·佩雷尔曼为例，说明了数学家对纯粹真理的追求。陶教授还倡导更灵活的数学教育方式，鼓励学生发现自己的“原生数学语言”，并利用课堂外资源和公民科学项目参与数学研究。他相信，AI发展将降低数学研究门槛，促进更广泛协作和发现。

6. 哲学与未来展望

陶教授认为，物理理论本质上是对宇宙数据的“压缩”，即用少量参数解释海量观测。他提及“普适性”现象，即许多复杂系统在宏观层面涌现出与微观细节无关的普遍规律（如中心极限定理解释钟形曲线）。他强调人类的认知能力本身就已被工具（如语言、笔）所增强，且人类的集体智慧（如数学社区）远超个体。面对未来的不确定性，他建议保持适应性和灵活性，学习可迁移的抽象思维和问题解决能力。陶教授对人类文明的未来充满希望，相信当前看似无法解决的问题，未来可能变得微不足道，就像过去的导航难题如今通过手机应用已完全解决一样。